Взаимозависимость между фокусными расстояниями системы.

Прибавляя к обеим частям равенства (I, 41) одну и ту же величину xf\ получим:

х(х'+П=Г{х + П; отсюда и из (I, 40) имеем:

х \ х J Г Га

Из рис. I, 20 непосредственно следует:

aigu = atgtf. (1,45)

После подстановки в (I, 44), приняв (J = -f находим выражение, которое иногда называют теоремой Лагранжа - Гельмгольца:

fl\%u = -fllgu. (1,46)

Очевидно, это уравнение имеет место и в параксиальной области при малых значениях углов = аии'= а':

а = - V. (1,460

Деля почленно равенства (1, 46) и (1, 28), находим:

-L = -± (1,47)

Во многих случаях средой пространства предметов и изображений является воздух и, следовательно, я = я = 1. При таком допущении переднее и заднее фокусные расстояния будут численно равны и отличаться только знаками:

/ = -/ (1.48)

Формула Ньютона (I, 41) принимает вид:

** = -/2. (1,49)

Формула Гаусса (I, 43):

J l = j

a1 a f

Выражение линейного увеличения (I, 44):

(1,50)

Р = -. (1,51)

а

Изображение бесконечно удаленной точки предмета, расположенной вне оптической оси. Из точки предмета в систему поступит пучок параллельных лучей, образующих угол наклона w относительно оптической оси (рис. I, 21).

Определим расстояние / точки изображения Л', расположенной в задней фокальной плоскости F системы. Среди лучей наклонного пуч-

ка найдется луч, проходящий через передний фокус F и, следовательно, идущий параллельно оптической оси по выходе из системы; для этого луча находим:

l = ftgw. (1,52)

Среди лучей того же пучка найдется луч ЛЯ, проходящий через переднюю главную точку Я и, следовательно, по выходе из системы проходящий через заднюю главную точку Я'; для этого луча можно написать:

(1,52)

Если первая и последняя среды, окружающие оптическую систему, одинаковы, то п = п' и / = -/; сопоставляя (I, 52) и (It 52), находим:

н нг

дон, = до,

(1,520

Рис. I, 21. Изображение бесконечно удаленной точки предмета, расположенной вне оптической оси

т. е. всякий луч, входящий в оптическую систему через переднюю главную точку под некоторым углом, по выходе из системы проходит через заднюю главную точку под тем же

углом, если последняя и первая оптические среды одинаковы. В этом случае для величины изображения / бесконечно удаленного предмета получим:

l = -ftgw. (1,53)

Для общего же случая (пф п') имеем:

(1,53)

Например, в любительском пленочном фотоаппарате с форматом снимка 24 X 36 мм полудиагональ кадра V = 21,6 мм. При фокусном расстоянии объектива / = 52 мм из (1,53) находим:

\gw =

21,6 52

= 0,416; ш = 22,5°

Полный угол поля зрения равен 2до = 45°. Угол поля зрения, соответствующий ширине кадра, равен:

tg до = =0,360; w. 50

20°; 2ш = 40е

Угловое и продольное увеличения оптической системы. Угловым увеличением оптической системы называется отношение тангенсов углов и' и и (см. рис. I, 20):

tgn/

(1,54) 35

Приняв во внимание (I, 44) и (I, 47), а также, что^-- = £ , на-

о п

(1,54)

Если угловое увеличение в данной паре сопряженных точек равно единице (Yo = 1) то такие точки называются узловыми:

То = Г- = -г- = 1,

отсюда:

а0 = а0,

т. е. луч, входящий в систему через переднюю узловую точку под некоторым углом, по выходе из системы проходит через заднюю узловую точку под таким же углом. Если первая и последняя среды одинаковы (п = я), то при у = 1 величина Р = 1 (см. I, 54) и, следовательно,

узловые точки совпадают с главными точками системы.

Взаимосопряженными являются также пространственные предметы и их изобр ажения, имеющие глубину. Прямолинейный отрезок, параллельный оптической оси, изображается в виде сопряженного ему прямолинейного отрезка, также параллельного оптической оси. Обозначим через dx и dx1 малые отрезки оптической оси вблизи сопряженных плоскостей (рис. 1, 22) S и S.

Продольным увеличением а называется производная:

Рис. 1. 22. К выводу формулы для продольного увеличения

dx dx

(1,55)

Дифференцируя уравнение Ньютона (1,41), получим: xdx + xdx -= 0; отсюда находим:

dx dx

х

Из (I, 40) и (I, 47) следует:

/ х v \ X ) п

= Р2- -, (1,55)

т. е. продольное увеличение пропорционально квадрату поперечного увеличения, а при п = п' равно ему.