Если осевые отрезки dx и dx1 не бесконечно малы, а имеют конечные значения А* = х2-а^иДлг = х\ -х'и то, применяя дважды формулу (I, 40) к каждой паре сопряженных плоскостей и воспользовавшись (I, 47), получим:

*f==A=± = J!Lfif2, (1,550

Аде *2 - хх п

где Pi и р2 - поперечные увеличения в плоскостях изображений обеих пар сопряженных плоскостей, определяемых соответственно координатами хи х\ и х2, х\.

Зависимость между тремя видами оптических увеличений. Поперечное, угловое и продольное увеличения взаимосвязаны. Из (I, 54) и (I, 55) непосредственно находим:

T =F. (1,56)

Это выражение является общим, полученным без каких-либо допущений.

Оптическая сила системы; сходимость лучей. Иногда пользуются терминологией и обозначениями, представляющими в некоторых случаях известные удобства и чаще всего применяемые в офтальмологической оптике. Умножив обе части уравнения (I, 43) на у- и воспользовавшись (I, 47), получим:

п' п п' Л j ggj

а' а ~~ / /

Условимся называть величину отношения показателя преломления к отрезку, определяющему положение центра гомоцентрического пучка сходимостью пучка по отношению к точке, от которой отсчитывается

отрезок. Обозначим сходимости и прописными буквами греческого алфавита -соответственно 2 и 2. Отношение показателя преломления среды к соответствующему фокусному расстоянию назовем оптической силой системы ср:

(1.57)

Приняв указанные обозначения, напишем уравнение (I, 56) в виде:

Е' = £ + <р, (1,57)

т. е. сходимость пучка лучей, дающего изображение точки на оси, равна сумме сходимости пучка лучей, выходящих из изображаемой точки предметов, и оптической силы системы; причем сходимости определены по отношению к главным точкам системы.

Иногда наряду с понятием оптической силы системы ф = jr вво-

дят понятие силы оптической системы Ф=уг- Очевидно, чтоф = яФ;

для систем, находящихся в воздухе, п' = 1 и ф = Ф.

За единицу оптической силы системы принимают оптическую силу системы, у которой второе фокусное расстояние положительно и равно одному метру в воздухе; эта единица называется диоптрией. Очевидно, что сходимости можно также выражать в диоптриях. Заметим,что если все отрезки определены не по отношению к главным точкам системы, а по отношению к вершине преломляющей поверхности, то принято отмечать это словом вершинный , например: вершинное фокусное расстояние , вершинная оптическая сила .

§ 3. ОПТИКА УЗКИХ НАКЛОННЫХ ПУЧКОВ

Выше были рассмотрены свойства оптических систем при двух диаметрально противоположных допущениях: свойства систем малой апертуры и малого поля зрения -систем в параксиальной области; свойства систем больших апертур и широкого поля зрения - идеальных

so sr

Рис. I, 23. Преломление элементарного астигматического пучка

оптических систем. Рассмотрим здесь свойства промежуточных систем, образующих изображения в пределах широкого поля, но узкими пучками лучей: изображения этими системами формируются бесконечно тонкими пучками, идущими вблизи любых меридиональных, в частности, главных лучей, образующих конечные углы имс оптической осью и конечные углы падения / и преломления / с поверхностями оптической системы.

Под меридиональным лучом понимаем луч, лежащий в меридиональной плоскости, т. е. плоскости, проходящей через оптическую ось системы и данную точку предмета.

На рис. I, 23 представлен меридиональный луч SMS, преломляющийся через сферическую поверхность и проходящий через точку предмета. Этот луч будем рассматривать как ось некоторого бесконечно узкого пучка. К такому пучку могут быть применены законы параксиальной оптики. Однако при этом появляется и существенное отличие.

В рассмотренных выше параксиальных пучках ось бесконечно тонкого пучка была направлена по нормали к сферическим поверхностям в точках падения (оптическая ось); в этих случаях элементарный гомоцентрический пучок оставался гомоцентрическим. Если же ось пучка

(выбранный меридиональный луч) образует конечный угол / с нормалью (радиусом) в точке падения, то преломленный элементарный пучок делается астигматическим.

На меридиональном луче взята точка Г, расположенная на расстоянии -tm от точки падения луча М на сферическую поверхность. Если направить из точки Г бесконечно близкий луч, образующий угол du с меридиональным лучом ТМ, то после преломления через поверхность этот луч пересечет луч MS в некоторой точке Т'т, которую можно рассматривать как меридиональное изображение точки Г, образуемое узким пучком. Расстояние tm этого изображения от точки М встречи луча с поверхностью определяется формулой Юнга:

п' cos2 V п cos2 i п' cos / - п cos i /т соч --.----- =---. (1,58)

Заметим, что эта формула принимает вид, аналогичный формуле (I, 24), если положить / = / = 0, т. е. если осью пучка выбрать оптическую ось.

Проведем из той же точки Т бесконечно близкий сагиттальный луч (на рисунке он не показан), расположенный в сагиттальной плоскости, проходящей через луч ТМ и перпендикулярный меридиональной плоскости. Этот луч после преломления пересечет луч MS в некоторой точке, расположенной на расстоянии t8 отточки М и называемой сагиттальным изображением точки Т\ вторая формула Юнга позволяет определить положение изображения, образуемого элементарным сагиттальным пучком;

п' п тС cos V - п cos I /Л со,ч

-,---г =---. (1,58)

Если / = / = 0, то обе формулы Юнга идентичны и при t8 = /т, расстояния изображений t8 и tm будут также равны и, следовательно, гомоцентричность пучка сохранится; в общем же случае (когда / 0) элементарный гомоцентрический пучок после преломления становится астигматическим (tm ts), т. е. точка предмета Т изобразится двумя точками: точками меридионального и сагиттального изображений, расположенными друг от друга на расстоянии (f 8 -tm), называемом астигматической разностью, или, короче, астигматизмом.

К таким пучкам применим также инвариант Лагранжа - Гельмгольца (см. 1,28), но при выводе этой формулы предполагалось, что элемент изображения dlL перпендикулярен оси пучка; положив а = = du и а' = du\ получим:

ndlLdu = ndl\du. (1,59)

Как следует из рис. I, 23, d/1=d/mcos и и dlL = dlm cos u\ приходим к хорошо известному в светотехнике [4] для плоских элементарных пучков инварианту Штраубеля:

ndlmdu cosu = ndlmdu cosu\ (1,59)