предложенный им в 1944 году для решения систем уравнений в случае сильной нелинейности функций ft. В настоящее время именно этот метод с теми или иными модификациями служит математической основой большинства программ автоматической коррекции аберраций. Остановимся на нем несколько подробнее.

Идея сдерживающего метода наименьших квадратов заключается в том, что минимизация функционала Ф производится одновременно с ограничением длины шага итерационного процесса. Задача сводится к минимизации функционала Ф = Ф + q\h Х|2, где q>0 - весовой коэффициент, определяющий степень сдерживания длины шага итераций АХ. Условие минимума== 0 с учетом (IX, 2Г) приводит к нормальной системе уравнений:

{Ат А + <7/)ДХ + Ат (f - / ) = 0. (IX.22)

Так как матрица А т А положительно определена, то все ее собственные значения \ij положительны. Очевидно, у матрицы Ат А + ql собственные значения (1 = \ij + q. Таким образом, в основе сдерживающего метода наименьших квадратов лежит решение нормальной системы уравнений с матрицей ATA + qI, обусловленность которой лучше, чем матрицы АТА.

Хотя математической основой большинства программ автоматического расчета является сдерживающий метод наименьших квадратов, каждому из разработчиков программ для улучшения его сходимости при решении своих конкретных задач (применительно к ЭВМ) потребовалось внесение некоторых модификаций.

Из литературы известно о применении сдерживающего метода наименьших квадратов: в СССР - Н. Цено и С. Родионовым; в США - Д. Федером, Дж. Мейроном, Р. Хопкинсом, Б. Брикснером и другими; в Англии - Ч. Дж. Винном, М. Киндером, Дж. Блеком и другими; во Франции -А. Жираром; в Японии -Т. Сузуки, И. Мацуи, Р. Хирозе.

Ниже кратко описан алгоритм метода, положенный в основу автоматической программы, разработанной Н. Цено применительно к ЭВМ БЭСМ-2, БЭСМ-4 и БЭСМ-6.

Первоначально был использван в чистом виде метод, предложенный Левенбергом. Однако из проведенных расчетов стало ясно, что принцип выбора сдерживающего параметра q по условию Ф(</) = min при решении данной оптической задачи приводит к слишком сильному ограничению длины шага итераций, вследствие чего происходит фактически ограничение числа независимых переменных (коррекцион-ных параметров). Направление вектор - решения ДХ от шага к шагу меняется довольно мало, длина их также мала из-за недостаточной эффективности этих направлений. Сходимость метода заметно снижается по мере приближения к минимуму Ф. Проведенные исследования привели к следующей логической схеме выбора q. За начальное значение q принимается некоторое малое число, практически не ограничивающее решения АХ***1*. Затем производится его увеличение в ft раз до

тех пор, пока не будет удовлетворяться неравенство Ф(Х(/С+1>)<Ф(Х</С)). При этом значении q и выбирается решение ДХ+.на данном шаге итераций. Выбор ft также в сильной степени влияет на сходимость и даже на конечный результат. При слишком большом значении Ь происходит сильное ограничение решения ДХ</С+1 и, как следствие, замедление сходимости итерационного процесса. При малом значении Ь приближаемся к принципу Ф(</) = min, о недостатках которого говорилось выше. При нахождении q по данному алгоритму выбор шага производился всегда при меньшем значении q, чем по условию Ф(<7) = min.

Расчет некоторых оптических систем данным методом иногда приводит к сильной неравномерности изменения коррекционных параметров (радиусов, толщин линз,. коэффициентов асферических поверхностей и др.) из-за несоизмеримости их численных значений между собой. Следствием этого может быть нарушение конструктивности оптической схемы. Значительно лучшие результаты получаются при дифференцированном ограничении этих коррекционных параметров, т. е. при выборе дифференцированных значений сдерживающего параметра q : я* = ? = Л. , где т -процентное изменение неза-

висимой переменной при счете производной по конечно-разностной формуле. Введение дифференцированных значений равносильно изменению метрики пространства переменных xj9 так как система (IX,22) переходит в систему

(Вт В + ql) AY + Вт (f - 7 ) = О, (IX.23)

где В- матрица, составленная из первых разностей функции ft; Ду, =

= Принцип выбора q~сохраняется.

Логическая схема контроля и удовлетворения необходимых условий сохранения конструктивности оптической схемы, используемая в программе, различна в зависимости от этих условий.

Напомним, что в группу граничных условий включаются, во-первых условия нахождения коррекционных параметров Xj в заданном интервале их возможных изменений Лу< Xj<Bj (явные граничные условия), во-вторых, условия, определяющие оптико-конструктивную реализуемость системы: сохранение технологически допустимых толщин положительных линз на краю, допустимых осевых толщин отрицательных линз, конструктивно приемлемых расстояний и воздушных зазоров между линзами: <р(*1э Х2,.--хп) >0 (неявные граничные условия). Исходная система должна удовлетворять всем заданным граничным условиям.

При нарушении на k-м шагу итерационного процесса граничных условий на коррекционные параметры х} производится увеличение соответствующих им сдерживающих параметров qJf добавляемых к диагональным элементам матрицы Вт В, в Ь раз до тех пор, пока л^<*-И)= XjM+AxjWбудет удовлетворять неравенствам A j<XjiK+X)<Bj. Очевидно, это произойдет, так как при достаточно большом qj решение Ддгу мало, a находится в заданном интервале изменения.

При нарушении граничных условий, задаваемых на некоторые функции от коррекционных параметров ф*(*ь *2,- .>* )> было принято во внимание, что нарушение их происходит из-за слишком сильного изменения целого ряда параметров, предшествующих положению линзы в оптической системе. В этом случае производится одновременное и одинаковое увеличение всех сдерживающих параметров qs.

Сдерживающий метод наименьших квадратов пригоден для решения задач с любым соотношением числа уравнений и числа неизвестных.

Сходимость метода является вполне удовлетворительной при использовании различных коррекционных параметров и корригируемых функций. В разработанной программе в качестве коррекционных параметров могут быть выбраны радиусы и толщины линз, воздушные промежутки, коэффициенты асферических поверхностей, углы первого параксиального луча с оптической осью, положение действующей диафрагмы, показатели преломления стекол и др-. Критерием оценки качества коррекции могут служить аберрации третьего порядка, волновые и геометрические аберрации лучей (монохроматические и хроматические), в частности дисторсия, условие изопланатизма. Кроме того, корригируемыми могут быть такие параметры, как фокусные расстояния оптической системы и отдельных ее компонентов, фокальные отрезки, расстояния между главными плоскостями соседних компонентов и др.

Для оптических систем с переменными оптическими характеристиками коррекция аберраций, как правило, производится для нескольких фиксированных значений фокусного расстояния.

При автоматической коррекции волновых аберраций L для их вычисления с достаточной точностью при сравнительно малой затрате машинного времени предпочтительнее использование следующих формул, основанных на определении разностей длин оптических путей:

L =(/г.л-7)-(/р.л-7), (1Х,24)

к

где Г= Jiidi - длина оптического пути луча вдоль оптической оси

ы

системы между вершинами ее наружных (1-й и fe-й) преломляющих поверхностей; /г<л - длина оптического пути вдоль главного луча; 1Т,Л -длина оптического пути вдоль некоторого текущего луча пучка. Очевидно, длина оптического пути /л вдоль любого луча (главного или текущего ) представится выражением:

/л-7 = 2 л*А*. (1Х,25)

где: fif + vf

Xi - + dt---

At =---\+h- ; (ix.26)

ч

*ь № Vf, %t - координаты луча на i-ft поверхности.