где а\ -радиус кругового сечения пучка (в частности, выходного зрачка); р' -расстояние между плоскостью сечения пучка и плоскостью изображений; Г - расстояние элемента AS от оптической оси.

Координата /, определяющая положение элемента изображения, определится из выражения:

/--ptgw,

где до - угол, образованный с оптической осью лучом, соединяющим центр элемента AS с точкой пересечения оптической оси плоскостью сечения пучка лучей, формирующих изображение элемента AS.

Освещенность изображения на оптической оси системы. Если элемент изображения AS расположен на оптической оси, то / =0 и, следовательно:

Р - flb р

т. е. -уб = и\ где и' -апертурный угол в пространстве изображений (см. рис. I, 38). Из (I, 98) и (I; 98) получим формулу освещенности изображений на оси:

Е'0= rcBsin2. (1,99)

Напишем эту формулу в несколько другом виде. Обратив внимание, что

sin*/ = % (1,100)

получим:

о

в -V/-Ц-V (mod

Если р' значительно больше а'0, то выражение, стоящее в скобках, будет близко к единице; в этом случае получим:

Е'о = В* (1,102)

где яао -площадь светящегося круглого выходного зрачка, заполненного лучами яркостью В'. Как известно, произведение яркости светящейся поверхности на ее площадь равно силе света /0 в направлении нормали к поверхности:

, ,2

[Q = В тсао

отсюда:

(1,102)

Таким образом, светящийся зрачок оптической системы можно рассматривать для достаточно больших расстояний р' как источник света, имеющий силу света Г0 в направлении оптической оси.

Большой погрешности допущено не будет, если считать, что освещенность на оси будет мало изменяться при отступлении от круглой формы выходного зрачка, но при условии сохранения площади зрачка равновеликой. Приближенно получим:

(1,102 )

где S,3p - площадь выходного зрачка произвольной формы.

Для получения результатов с большей точностью можно рекомендовать воспользоваться следующим общим методом 14].

Обобщенное выражение освещенности. Необходимо

определить освещенность в точке А' (рис. 1, 39),создаваемую светящейся поверхностью S (например, выходным зрачком) произвольной формы и размеров. Выделим на этой поверхности элемент dSu нормаль к которому образует угол / с лучом, направленным к точке Л'. Обозначив через В' % яркость элементарного пучка лучей в этом же направлении, получим выражение, непосредственно вытекающее из определения понятия яркости:

Рис. I,

К расчету освещенности в общем случае

dl] = BidSt cos j,

(1,103)

гдей/ i - элементарная сила света в том же направлении, образующем угол i с нормалью к светящемуся элементу dSt.

Освещенность dEt в точке Л', создаваемая светящимся элементом поверхности dSif будет равна:

cos г,

(1,104)

где I -угол падения лучей на освещаемый элемент поверхности dS\ г -расстояние источника света dSt от освещаемой поверхности. Отсюда находим:

dEr=m cost ().

Обратив внимание, что выражение, стоящее в скобках, равно телесному углу dQ ь под которым светящийся элемент dSt виден из освещаемой точки А', имеем:

dEr = B,icosidQi<. (1,105)

Интегрируя по всему телесному ynnyQ, получим освещенность в данной точке от светящейся поверхности (заполненного светом выходного зрачка) произвольной формы и размеров:

£= [tilcqsidti. (1,106)

Это и будет обобщенным выражением освещенности. Оно позволяет вычислить Е' при любом заданном распределении яркости В' в пределах телесного углай'. Задача существенно упрощается, когда яркости всех пучков, заполняющих телесный угол Q, одинаковы. В этих случаях выражение (I, 106) примет следующий вид:

Е' = В' f cos i dQr = В' 2. (1,107)

Задача, таким образом, сводится к определению интеграла:

2= ( cos/dQ/*, (1,108)

Освещенность от зрачков больших размеров. Пусть поверхность зрачка S постоянной яркости В' освещает элемент dS (рис. I, 40). Из центра элемента dS проведем прямые линии к контуру, ограничивающему светящуюся поверхность зрачка S, и вокруг этой же центральной точки построим полусферу с радиусом, равным единице. Образованный конус лучей с заключенным внутри телесным углом Q пересечется с поверхностью сферы и выделит часть ее, соответствующую телесному углу Q. Элемент поверхности, которую выделит на сфере каждый элементарный телесный угол dQ, будет численно равен dQ, так как радиус полусферы равен единице. Этот элемент поверхности наклонен относительно плоскости основания полусферы под тем же углом который составляет падающий луч с нормалью к элементу dS.

Таким образом, произведение cos / dQ численно равно площади ортогональной проекции элемента поверхности полусферы dQ на плоскость основания полусферы, т. е. на плоскость освещаемого элемента dS. Отсюда следует, что интеграл 2 (I, 108) численно равен площади проекции на плоскость основания той части поверхности полусферы (с радиусом, равным единице), которая вырезается телесным углом

Освещенность изображения на оптической оси при различных формах зрачков объектива. Применим полученные зависимости к некоторым случаям.