чине угла падения im угол преломления достигает / = 90°, так что преломленный луч начинает распространяться вдоль границы раздела двух сред. При дальнейшем возрастании угла падения (/ > im) наблюдаем явление полного отражения светового луча в ту среду, из которой он распространялся, - явление полного внутреннего отражения. Величина угла падения im называется предельным углом полного внутреннего отражения:

что, очевидно, возможно только при п> п'.

Отражение света можно рассматривать как частный случай преломления, поскольку отраженная от поверхности волна распространяется в той же среде, что и падающая; если принять при этом, что знак скорости изменяется и, следовательно, п' = -л, то из (I, 2) получим:

Это позволит нам в дальнейшем формулы, выведенные для случая преломления лучей, преобразовывать к случаю отражения, положив в них

Пятый закон геометрической оптики - закон обратимости хода лучей: путь светового луча не изменяется при изменении направления его распространения на прямо противоположное. Например, луч падающий и луч преломленный (см. рис. I, 4) могут поменяться местами : луч, падающий в направлении RO, преломится в направлении ОР.

Законы отражения и преломления могут быть рассмотрены как следствие более общего принципа Ферма, утверждающего принцип экстремального пути луча между двумя точками - А и В (рис. 1,5, а): свет распространяется по пути, оптическая длина которого экстремальна. Как известно, оптической длиной dL пути луча вдоль элемента

sin i = - sin /.

п' = - п.

(1,2 )

B(xz;i/z;0)

Рис. I, 5. Объяснение явления отражения и преломления лучей на основе принципа Ферма

ds называется произведение nds\ следовательно, оптический путь L между точками А и В, если луч проходит оптическую среду с непрерывно изменяющимся показателем, выразится интегралом:

в

L = f nds. (1,3)

При прохождении лучом нескольких однородных оптических сред с показателями преломления, изменяющимися скачком на границе сред, имеем:

£=2*ftS* (I3>

где nk - показатель преломления &-й среды, в которой длина хода луча sk\ индекс р - номер последней среды.

Условие экстремальности оптической длины пути луча сводится к требованию, чтобы вариация от интеграла L равнялась нулю:

в

8L = 8 f /ids = 0. (I, У)

А

Символ вариации б выражает обобщение символа дифференциала; написанное можно толковать как первую вариацию определенного интеграла L; в зависимости от знака второй вариации этого интеграла функция L имеет минимальное или максимальное значение.

Иллюстрируем применение принципа Ферма к простейшему случаю распространения лучей на границе двух однородных сред: между точками А и В (рис. I, 5, б) при отражении луча и точками А и С при его преломлении. Обозначим координаты точек А(х^ у и 0); В(х2; у2\ 0) и С(х3\ уъ\ 0), т. е. расположим их в плоскости XOY. В этом случае точка D, через которую проходит нормаль к поверхности раздела сред, будет лежать в той же плоскости XOY. Это следует из того, что если бы точка D сместилась за пределы этой плоскости и заняла, например, положение точки D, то пути лучей AD, BD и CD оказались бы длиннее соответственно путей AD, BD и CD, как гипотенузы прямоугольных треугольников ADD\ BDD и CDD. Таким образом, возможные положения точки D на оси ОХ определяются лишь одной текущей координатой х.

Написав путь луча между точками А и В:

s= AD+ DB + Y (Xt - xf + у\ + ]Л*2 - х)2 + yi и после определения производной, положив ее равной нулю, получим:

sin (- i) = sin i,

или

- i=l.

Пришли к закону отражения.

Написав аналогично оптический путь луча между точками А и С: s = nAD + n DC = n ]/ (*! - х? + у] + п' \/(x3-x)2 + yi и после определения производной, положив ее равной нулю: ds - (*! - х) и, (х3 - х)

= п

- п

= п sin (- i) - п' sin (- i) = О,

получим:

л sin * = п sin г

Рис. I, б. Траектория луча в неоднородной оптической среде

Пришли к закону преломления (I, 2).

Пользуясь теоремой о сложении вариаций, можно распространить полученный результат на случай произвольного числа преломлений и отражений.

Из принципа Ферма следует, что между точкой предмета и ее изображением оптические длины хода всех лучей пучка, образующего изображение, одинаковы. Это положение иногда оказывается удобным использовать для определения сложной формы отражающей или преломляющей

поверхности в простейших оптических системах, обеспечивающих безаберрационное изображение сопряженной пары точек.

Распространение луча в неоднородной среде. Если оптическая среда, в которой распространяется луч, неоднородна, то лучи распространяются не прямолинейно, а по кривым линиям, которые можно назвать их траекториями. Криволинейное распространение лучей света может возникнуть в толще стекла линз аэрофотообъектива, если в них установились температурные градиенты, вызывающие изменение показателя преломления. Выведем формулы, определяющие траекторию луча. Ограничимся плоской задачей, т. е. будем считать, что траектория луча расположена в плоскости XY (рис. 1,6). Показатель преломления п явится функцией двух координат:

п = F(x, у).

На рисунке SiS2 - траектория луча; через некоторую точку М траектории проходит кривая MP равных показателей преломления п\ MG - градиенту показателя п в точке М, направленный по нормали к кривой MP. Градиент в данной точке направлен в сторону наибольшего возрастания показателя преломления. Обозначив через и

gj составляющие градиента g показателя преломления в точке М, можно написать выражение для величины градиента: