сечения А' луча с плоскостью изображения; эти проекции обычно принято обозначать символами 8g и 8G.

При заданном положении плоскостей предмета и входного зрачка они являются функциями от координат падающего луча: ll9 т1 и Мг и зависят также от конструктивных элементов оптической системы - от радиусов ее поверхностей, толщин и показателей преломления линз и воздушных промежутков между линзами.

Теория аберраций устанавливает функциональную зависимость составляющих аберраций 8g и 8G от координат луча ll9 т19 Мг:

bg = / (/А; т4; МО; 80 = F (/t; m; Mt).

Вследствие симметрии системы относительно оптической оси можно априори утверждать, что функции / и F не могут содержать членов четных порядков, т. е. таких, как ml9 М29 тМ9 Mm2 и др.; иными словами, функции f и F должны удовлетворять условиям нечетности:

/(- I -Щ\ -Щ = -/(/t; mt; Mt); F(-lt\ -т{у - Л^) = - Ff, mi9 MA).

Таким образом, если функции f и F разложить в ряд, то последний будет содержать члены лишь нечетных порядков относительно величин ll9 тг и Мъ т. е. сумма показателей степени а + (5 + У = * произведений вида Kjt\ т\М\, являющихся членами этого ряда, равна нечетному числу. Теория аберраций третьего порядка ограничивается приближенным представлением составляющих аберраций 8g и 8G в виде ряда , члены которого содержат некоторые коэффициенты Kj, зависящие только от конструктивных элементов оптической системы и от положений плоскостей объекта sx и входного зрачка х19 но не зависящие от координат луча; последние определяются величинами 119 тх и М19 входящими в качестве сомножителей членов ряда со степенями /*, т?, Щ9 сумма которых а+р + у = х = 3.

Если эта сумма равна пяти, семи и т. д., приходим соответственно к рядам, выражающим аберрации пятого, седьмого и т. д. порядков.

Анализ показывает, что число независимых коэффициентов Kj аберраций третьего порядка равно пяти; число коэффициентов аберраций пятого порядка равно девяти. В общем случае число независимых

коэффициентов аберраций х-го порядка равно: -g-(x +1) (х + 7).

Таким образом, составляющие аберраций 8gm и 8Gem третьего порядка могут быть представлены рядом:

bgin = А±т± (m? + М\) + A2lt (Зш? + М\) +

+ A3l2lmi + A5l\; 80ш = AtMi {т] + М\) + 2A2limiMi + А$М

(П,2)

где А19 Л2, А5 - пять коэффициентов аберраций, зависящих только от конструктивных элементов оптической системы и от положений плоскостей предметов и входного зрачка.

При желании можно заменить координаты тг и Мг в плоскости входного зрачка координатами т' и М' точки пересечения луча с плоскостью выходного зрачка, пользуясь соотношениями гауссовой оптики:

т' = p3pm; М' = р3рМ>

гдебзр - увеличение в зрачках системы.

Приходим к формуле, аналогичной по форме выражению (II, 2):

bgm = А[т* (т'2 + М'2 ) + (3m2 + М'2) +

+ A3lW + Лб/?; (11,20

80и1 = Л1м' (m2 + М'2) + 2А21,т'М' + Ж t\M\

Как было сказано выше, рядом, содержащим девять коэффициентов, могут быть представлены меридиональная и сагиттальная составляющие аберраций bgy и 8Gv пятого порядка:

1&=ЬВт'{т'% +М'2 Т+В'ъ{т'2 +M2)(5m2 +M2)lt+ + \\B\m (т'2 +М'2)+ 2В'вт (2т'2 + М'2)] l\ + + [В, (Зт2 +М'2) + ЗВ6т'2 ] l\ +

+ 2{в\+В'т)т'1\ + В2%-% \ (Н.З)

8G; = 6В'*М' (т'2 + М'2 У + АВЪ (т'2 + М'2 ) Mmlt + + [4В'М (т'2 + М'2) + 2Bim2 М'] 1\ + 2В'ътМ'А + + 2В\М'1\.

Члены ряда здесь расположены по возрастающим степеням 1г.

Точные значения составляющих аберраций 8g и 8G, очевидно, могут быть представлены суммой составляющих аберраций третьего, пятого и более высоких порядков:

(11,30

8 = sgr;1I+ogr; +...

&G = 8Ghi + SGv Н----

Заметим, что здесь отсутствуют составляющие аберраций bg и

№ первого порядка, хотя из формулы (х + 1) (х + 7) следует,

что при х = 1 получаем две аберрации первого порядка: это аберрации параксиальной области и их, очевидно, может быть только две - аберрация положения изображения (дефокусировка) и аберрация величины изображения.

Волновая аберрация луча и ее связь с аберрациями геометрическими. Пусть из некоторой точки Л предмета, расположенной в меридиональной плоскости вне оптической оси, поступает в оптическую систему г°моцентрический пучок лучей, которому, следовательно, соответству-61 сферическая световая волна. По выходе из оптической системы эта

волна вследствие аберраций системы больше не является сферической. Ее отступление от сферической формы может быть характеризовано отрезком L - расстоянием между реальной и сферической волновыми поверхностями, отсчитываемым по нормали к сферической поверхности с центром в точке Л'0, являющейся идеальным изображением точки Л (рис. II, 2).

Пусть Р'Х - оптическая ось системы; XPY - меридиональная плоскость, содержащая гауссово изображение Л'0 точки, расположенной на расстоянии Г0 = A\S от оптической оси. Пусть S - идеальная сферическая волновая поверхность радиуса г'. Пусть В - некоторая точка этой поверхности; ВС - нормаль к реальной волновой поверхности; L - волновая аберрация.

Уравнение идеальной волновой поверхности имеет вид:

Рис. и, 2.

К определению волновой аберрации

(х - *0)2 + (У ~ /о)2 + *2- г'2 = О,

где х0 = р' - абсцисса точки пересечения S плоскости изображения с осью Р'Х, равная расстоянию между плоскостью изображения и выходного зрачка, в центре Р' которого расположена вершина сферической волны. Можно представить уравнение реальной волновой поверхности в окрестности точки С также в виде сферы радиуса г' + 8г':

Р (*; у; г) = (х - x0f +(у- О2 + z* - (г' + brj = О,

где волновая аберрация L является некоторой функцией от у и г.

Уравнение нормали ВС к реальной волновой поверхности в точке

(*; У\ z) имеет вид:

. Х-х У - У = Z-z .

dF dF dF

дх ду dz

отсюда получим, пренебрегая величиной бг по сравнению с г': Х - х Y -у z - z

х - х0

dl ду

z - г

dL dz

Положив X = х09 получим значения координат Y = Г0 + 8g\ Z = 6G точки Л' пересечения луча (т. е. нормали С А' к реальной поверхности волны) с плоскостью изображения S; впрочем последней может быть любая выбранная так называемая плоскость установки:

-л / / dL Og =г - ;

5G = г'

dL dz

(П,4)

Эти уравнения связывают поперечные геометрические аберрации 6g й 6G с производными волновой аберрации по переменным у и г на поверх*