ности волны; выразим последние через координаты т' и М' в плоскости выходного зрачка.

Предположим, что аберрации системы невелики и направление реального луча, проходящего через точку В идеальной волновой поверхности с координатами х, у, z, мало отличается от направления нормали ВА\ (на рисунке не указанной), проходящей через точку А'0 с координатами х0, Г0, О. Пусть плоскость YPZ совпадает с плоскостью выходного зрачка и, следовательно, координаты пересечения луча с этой плоскостью О, m, М'. Очевидно, эти координаты должны удовлетворять уравнению прямой, проходящей через точки В и Л'0:

Ш ~~ v v IVi - Xq - x

х0- X

где

х = х0 Vr2-z*-(y-kf .

Допустим дальнейшее приближение, а именно, что х0 = г' и что величины Г0, г/ и z невелики по сравнению с величиной х0 = р'\ обычным приемом разложения корня квадратного получим:

х 1 х *> + (y-tf X~TX°

и далее представим выражения для т' и М' приближенно: т' = у + - {у-k)\ M=z(l + .).

Xq \ Xq J

После подстановки сюда последнего выражения для величины х находим:

2 4

. 1 Уа+г*-2у10 , Л m =f/ + l--1-(f/ - 4>),

или, наоборот, выразим у и 2 через координаты т' и ЛГ:

/ М'

z = M 1----12). (П.5)

I2 + тА - 2ml0\

А У

Сопоставив полученные формулы с выражениями (И, 4), убеждаемся, что практическое их применение сулит мало удобств и пользоваться ими рационально только в тех случаях, когда нужна высокая

4-921 97

точность. Для повседневной практики можно принять, что у = mj и 2 = М' и вместо (II, 4) написать:

г'-; 8G = г' - . (11,6)

Волновая аберрация L представлена здесь как функция координат т! и ЛГ; она зависит также от ординаты у0 = 1Х точки А предмета, от конструктивных элементов оптической системы и от положения плоскости предметов.

Общие выражения волновой аберрации. Формулы (11,6) применяются для вычисления величины волновой аберрации L. Если меридиональная и сагиттальная составляющие геометрических аберраций 8g и 8G представлены в виде функций от т' и ЛГ, то волновая аберрация L может быть определена путем интегрирования системы уравнений (II, 6).

Если составляющие геометрической аберрации 8gm и 6Ghi заданы рядами (II, 2), то выражение волновой аберрации третьего порядка Lm будет иметь следующий вид:

rLm = ± (т'2 + ЛГ2 )2А\ +(т'2 + М'2) тЧ +

+ ± т2 Ц л; + -L м* ?х л; + ml\ Аъ. (II, 7)

Обращаем внимание, что при интегрировании мы опустили постоянный член ряда, так как предполагается, что волновая поверхность соприкасается в ее вершине с идеальной сферической поверхностью (сферой сравнения). Кроме того, в выражении (II, 7) отсутствуют члены, содержащие нечетные степени координаты М\ что является следствием наличия в аксиально симметричных центрированных оптических системах плоскости симметрии для наклонных пучков. Наконец, последний член ряда (II, 7) содержит координату т' в первой степени; как будет ясно в дальнейшем, линейная зависимость аберрации от некоторого аргумента (в данном случае от т!) не влияет на структуру изображения точки; последний член характеризует аберрацию главного луча.

Можно воспользоваться выражениями аберраций пятого порядка 8gv и 8Gv, написанными выше (II, 3), и, проинтегрировав систему уравнений (II, 6), получить следующее выражение волновой аберрации Lm пятого порядка:

rLv = Вз (т/2 + М'2 )3 + В'ь [т* + М'* )2/п'/, + + [(В'4 + В* ) т'2+ В\ ЛГ* ] (m2 + М*) / + [(в'9 + В'ь)т'2 +

+ В'эМ2] mtf + [[в[ + В'7 ) т'2 + В[М'2 ] А + С (II, 8)

Члены ряда здесь также расположены по возрастающим степеням /х. И здесь, конечно, отсутствуют члены, содержащие нечетные степени параметра М'\ С - постоянная интегрирования.

Как увидим в дальнейшем, графическое представление аберраций в нашей практике принято проводить по аргументам и' и U - апер-турным углам в меридиональном и сагиттальном сечениях, которые при определенном расстоянии между плоскостями выходного зрачка и изображения (xf-s) пропорциональны величинам т! и М'\

-гЦ: /--т^Ц- (П.9)

* - s х' - s

Волновую аберрацию Lu\ можно написать в следующем виде:

rLm = А\ (и'* + U * J + А°2 (и2 + U2) и' tg w +

+ Alu2 tg2w + AA U2 tg2w + Abu tg3w, (II, 10)

где w - угол поля зрения, определяемый из (II, 1).

Аналогично можно представить волновую аберрацию пятого порядка Lv (II, 8) как функцию апертурных углов и' и U:

rLv = Въ [и2 + и2 )3 + Въ [и'2 + U2 )V igw +

+ [{В\ + В'*) и'2 + В\ U2 ] (и2. + U2) tg2 w + + \(Bl + Bl) и'2 + B9U2] и' tg2 w + [(В\ + В7) и'2 +

+ B\U%]\gw + C. (II, 10)

Переменные Ланге, используемые в теории аберраций. Следуя Ланге, обозначим через ak угол между оптической осью системы и первым вспомогательным параксиальным лучом, проходящим через центр предмета до преломления луча через k-ю поверхность; такой же угол после преломления - буквой ak. Соответственно углы с осью второго вспомогательного параксиального луча, проходящего через центр входного зрачка, назовем буквами Рл и р'л.

Обозначения uk и uk, wk и wk соответственно сохраним для конечных значений углов тех же лучей с оптической осью.

Введем также высоты пересечения с k-и преломляющей поверхностью обоих вспомогательных параксиальных лучей - hk и yk. Эти формулы имели следующий вид (см. I, 31 и I, 32):

u nk - nk

nk4 - nkak = hk

где углы а и а' указаны на рис. I, 17:

A = afe; -k--.;. (11,11)

Sk sk