Для перехода от высоты hk на преломляющей поверхности k к высоте на поверхности с номером k + 1, разделенных промежутком dk9 можно воспользоваться простой зависимостью:

hk+t = hh - dk<ih+i, (II, 12)

где aft+1 = *k .

Аналогичные соотношения можно написать и для второго вспомогательного параксиального луча (см. I, 91):

nk%-nk$h=yh Ч~Пк , (11,13)

гдер- = рЛ; = Р k\ через xk и xk обозначены сопряженные отрезки, определенные из формулы преломления второго вспомогательного луча через k-ю поверхность:

Ч j4 = nk - nk

Таким образом, расчет обоих вспомогательных лучей последовательно производится по рекуррентным формулам (II, 10)-(II, 14):

Akna ==hk-\ Afeft = - dhak ; (II, 15)

- i Ку = -*к& (H.16)

Символом Д здесь обозначены разности соответствующих величин.

Углы а* ирЛ и высоты hk и yk могут при этом задаваться в любых произвольных единицах; важно лишь, чтобы при выборе этих единиц были удовлетворены следующие соотношения:

К = Л = Фа; Уи = *k$k = xk (И. 17)

Если предмет или входной зрачок находятся на бесконечно далеком расстоянии, то соответственно одно из выражений (II, 17) заменяется одним из следующих:

sl = - oc; = fdk;

*i = -oo; yt = f%9 (11,18)

где / - фокусное расстояние оптической системы.

Имея четыре совокупности величин, рассчитанных при любых начальных значениях: hk и yk с индексом от 1 до р (р - число преломляющих поверхностей оптической системы) и а*, рЛ с индексами от 1 до р + 1, - вычисляем их так называемые приведенные значения; для этого делим каждую из величин аЛ, р & yk на одно из значений

каждой совокупности; эти величины назовем приведенными значениями переменных Ланге.

Можно перечислить несколько систем приведенных значений переменных Ланге, или, что то же самое, систем выбора начальных значений переменных Ланге, при пользовании рекуррентными формулами (II, 15) и (II, 16).

Например, если плоскости предметов и входного зрачка находятся на конечных расстояниях соответственно % и хъ можно принять одно из следующих условий нормировки:

а) 1==1, ft1 = Sl, ft = l, =

б) а' = 1 = -yj, ht = s4at, Pi = Ь f/i = *i,

(11,20)

где у - угловое увеличение системы.

Если переменные ал, hk и р л, yk вычислены при какой угодно системе возможного выбора их единиц, то можно соответственным делением значений этих величин привести их и к такой применяемой иногда нормировке:

1 = 1, Ai-U (П21)

ft = l. У1 = 1-\

Если плоскость предметов бесконечно удалена (ai = 0), удобнее всего выполнять вычисления, полагая / = 1, т. е. выражая все длины в долях фокусного расстояния системы; при этом приведенные значения переменных Ланге вычисляются при следующих условиях:

а,= 1, А1==1, {и22)

Если задан линейный элемент предмета 119 перпендикулярный оптической оси и расположенный на расстоянии sx от вершины первой преломляющей поверхности, имеем:

/ = 5; /1в to-sft. (П,23)

В дальнейшем для краткости обозначаем в этой главе элемент dl через /. ;

Определив с помощью формул (И, 15) координаты выхода луча из оптической системы hp и ар\ находим положение параксиального изображения:

(И, 24)

Из расчета второго вспомогательного луча, выполненного g по-мощью формул (II, 16), находим координаты выхода ур ирр*; отсюда

определяем величину параксиального изображения:

lp = (xp-Sp) Pp. (11,25)

Линейный элемент изображения 1р может быть и непосредственно определен из инварианта Лагранжа-Гельмгольца (I, 29):

= ( .26)

и, следовательно, расчет второго вспомогательного луча оказывается, необходим, как увидим ниже, для удобного представления коэффициентов аберраций третьего порядка через переменные ал, hk, 0Л> yk\ контролем правильности выполненных вычислений обоих параксиальных лучей, как нетрудно видеть, явится тождественность следующих выражений:

*1 КУ1 - Ш = *; ( >Р - РЛ) . (И, 27)

где nt и п'р -показатели преломления сред пространства предметов и изображений.

Во многих случаях предварительных, в частности, габаритных расчетов можно считать оптическую систему состоящей из нескольких бесконечно тонких линз, расположенных на некоторых расстояниях друг от друга; иногда вместо простой линзы встречается сложный компонент, состоящий из нескольких бесконечно тонких соприкасающихся простых линз.

Назовем оптическую силу одного из таких компонентов с номером / буквой (j; оптическая сила компонента может быть определена в результате следующего суммирования по всем р преломляющим поверхностям:

?i = P J*ZfL. ( ,28)

При расчете хода параксиальных лучей через подобную систему, состоящую из тонких линз или компонентов, для всех линз /-го компонента высоты hi и yt пересечения вспомогательных лучей, очевидно, будут одинаковы; применяя формулы (II, 11)-(II, 14) последовательно ко всем поверхностям компонента, получим: ,

= й| -

& - h = yi<?i> Ум = У1 - (1$1>

(Н,29)

(11,30)

где а*, иа, Р'* - углы с оптической осью вспомогательных параксиальных лучей до и после преломления через /-й компонент, a dt -~ расстояние между компонентами / и / + 1.

Формулы (II, 29) и (II, 30) могут применяться и в системе, состоящей из простых линз или сложных компонентов конечной толщины,