- (3/Ат? + /4Л1?) Sn + 3/* т ASin +

- г/Мд Si, + Mf\ SiSUi + y- (xt - st)2 SiV] .

Выражения для аберраций системы в плоскости выходного зрачка Smin и бМш по виду аналогичны выражениям (II, 36), но в последних должна быть произведена следующая замена:

S,SU; Sn->SIIjc; Sj 5IV=SlVjc; SvSVjc

iiiiiijc

причем коэффициенты аберраций вычисляются при нормировке (11,21).

Аберрации бесконечно удаленной плоскости предметов. В весьма распространенном случае бесконечно удаленной плоскости предметов (Si-+-оо, (Xi-Si)->--оо) формулы (II, 34) теряют смысл.

Обратив внимание, что

1 ь = -1 и -Л-

из (II, 34), предварительно заменив в этих формулах

k = (*i - tg Wi (xt - wt, и при нормировке (II, 22) находим:

bgm = - [Щ (/я? + М?) Sioo + (З/и? + Мл) wJSlloo +

+ rriiwY (3Sn, со + n?Siv) + wlf* SVoo] ;

4- 2miMiWif S то + Mtw\ f (Sln TO + n\ SIV)],

где Wi - угол поля зрения, a / -фокусное расстояние системы; в вЫ ражении коэффициентов аберраций (II, 35) инвариант / при этом следует принять равным /= -rii-показателю преломления среД пространства предметов.

(II, 37)

Выражение аберраций луча в разных координатах, его определяющих. Не нарушая общности, будем считать, что точка предмета А (рис. II, 3) расположена в меридиональной плоскости. В этом случае внемеридиональный луч AQ определится тремя координатами: координатой, определяющей положение точки А в плоскости предметов, и двумя координатами, определяющими положение точки Q в какой-либо плоскости, расположенной на определенном расстоянии от плоскости предметов, например в плоскости входного зрачка.

Выше были написаны выражения аберраций, в которых положение луча определялось координатами 1и и Mt при расстоянии х4- st между плоскостями предметов и входного зрачка.

Иногда может оказаться более удобным координату точки А определить углом wu образуемым с оптической осью лучом, проходящим через точку предмета А и центр Р входного зрачка; координату точки Q определить углами Ui и Ui соответственно в меридиональной и экваториальной плоскостях. В пределах действенности теории аберраций третьего порядка, очевидно, можно принять:

и<=--- ; --ш4 = -Ь-; (11,38)

Рис. II, 3. Начальные координаты вне-меридионального луча

*1 - 1

ввиду малости углов тангенсы углов заменены дугами.

Формулы (II, 34) и (II, 35) при нормировке (II, 19) примут вид:

- 2/iSgrIIIa = и,(щ + U]) Si + (Зи? + U\) wtSu + + utw] [3Sni + п\ (xt - Siv] + w]Sv ; - 2nbGm* = U\ {u\ + U\) Si + 2uiUiwiSu + + UiW* [Sni + n?-sSiv].

Лагранжа-Гельмгольца

(11,39)

Согласно инварианту написать:

можно также

nabglu = nabg[

na8GIH = aSG;

где составляющие аберраций 8g и 6G отнесены к плоскости предметов.

В некоторых случаях удобно иметь выражения аберраций Sgm и SGni как функции координат и1 и U\ относящихся к пространст-ВУ изображений.

По аналогии с (II, 38) введем углы и! и U:

и = -

х' - s

(11,40)

гДе х'-s - расстояние между плоскостями выходного зрачка и параксиального изображения S (см. рис. II, 1).

Обозначив через р! и р'р углы с оптической осью второго параксиального луча до и после его прохождения через систему, получим:

Л : в'

?р x-s

(П,41)

УглыРх ирр связаны инвариантом Лагранжа - Гельмгольца, написанного для зрачков:

отсюда находим:

п'т'У x-s

п'М'Г x-s

п\Мг1х

*\ - Si X - S 3Ci - Si

Разделив каждое из этих уравнений на инвариантное выражение nxalx = naV, написанное для плоскостей предмета и изображений, получим:

а' (х' - sf) ал (хх - sA) Обратив внимание, что

а' (х' - s)

а = -- и а, = -±-, после подстановки в выражения (II, 42) определим:

/ М' \ = / Мл \ ji Л' U-sJ *,

Осуществив переход к углам и! и £/, получим:

Ui - Si/hi a \xi - Si) hi a

(11,42)

(11,43)

(11,44)

Подставляя эти значения в выражения (II, 34) и вводя угол дох = ---, приходим к формулам аберраций следующего вида:

- 2nVin = ( * + V* ) S, + (3 ,а +£/ ) WiS + + uw\ (3S , + I*Sw ) + w3tSv; - 2n8Gin = (/ (и'а + U* ) Si + 2uUwlSn + + I/ i(S, +/ S,V).

(11,45)

При выводе этих формул принята нормировка (II, 20), а име о! = 1, pi =1 и, следовательно, Ах = si, / = n1ai(x1-s.

именно, что

Часто выражают также аберрации, как функции координат т' и М'