в выходном зрачке. Воспользовавшись заменой переменных (II, 43), после подстановки в (II, 34), получим:

При этом и здесь также принята нормировка (II, 20).

Геометрическое представление аберраций третьего порядка. Гомоцентрический пучок лучей после прохождения через оптическую систему образует в плоскости изображений размытое световое пятно - фигуру рассеяния. Формулы (II, 34) или (И, 46) позволяют определить точку пересечения с плоскостью изображений каждого луча пучка.

В целях упрощения анализа изучают фигуры рассеяния лучей в предположении, что в названных формулах только один из пяти коэффициентов аберраций не равен нулю. Каждый из пяти коэффициентов определяет соответствующую аберрацию. Аберрация, обусловленная коэффициентом S, , называется сферической аберрацией; коэффициент Sv определяет кому; S]n - кривизну поверхности, по которой располагаются меридиональные фокусы астигматического элементарного (бесконечно тонкого) пучка; Siv - кривизну поверхности, по которой располагаются сагиттальные фокуса того же п>ч*а; Sv - дисторсию изображения.

Из формул (II, 39) или (II, 45) непосредственно видно, что величина поперечной сферической аберрации пропорциональна третьей степени апертуры; аберрация комы пропорциональна второй степени величины апертуры и первой степени угла поля зрения; кривизна поверхности изображения астигматического элементарного пучка пропорциональна первой степени апертуры и квадрату угла поля, и, наконец, дисторсия изображения пропорциональна третьей степени угла поля зрения.

В действительности оптическая система обладает одновременно всеми аберрациями и, таким образом, анализ сложной аберрационной фигуры рассеяния лучей методом выделения отдельных видов аберраций - прием искусственный, облегчающий анализ явления.

Чтобы исследовать распределение точек пересечения с плоскостью изображения отдельных лучей гомоцентрического пучка, вершина которого расположена в точке предмета Л, пользуются следующим приемом: рассматривают последовательно группы лучей, пересекающих плоскость выходного зрачка по окружности с центром на оптической оси системы, и сопоставляют формы следов пересечения луча-

(11,46)

ми плоскости зрачка и плоскости изображений. Таким образом устанавливаются формы фигур рассеяния лучей в изображении точек при наличии тех или иных аберраций оптической системы. Для проведения анализа удобно вместо прямоугольных координат т' и М' в плоскости выходного зрачка перейти к полярным координатам. Принимая за полярную ось Р'У (см. рис. II, 1), получим:

т

pcos6; М' = psin6,

(П,47)

где р' и 0 - полярные координаты точки (т'\ М').

Выражения (II, 46) могут быть представлены в следующем виде:

8£ш =

2п' (* - s)3

[P8cos9S, -р'2 (2 +

+ cos 26) /,Si, + Р' cos 67? (3Si + PSw) - /?Sv] ;

ЬОт =-l--Ip2 sin 6Si -

2n (* - s)8 lv

- p2 sin 26 ltSu + 9 sin 6 l\ (Sm + PSW).

(И, 48)

Выражение волновой аберрации L\U третьего порядка (II, 7) после введения коэффициентов S, , Su ,...,Sy (см. II, 46) примет вид:

rLm = -2n(J-sr [Т (m2 + М'2 >**-< +** )mliS +

+ -L m2 Ц (3S , + /2Siv)+y M2(S + /2S>v) - Sv], (И, 49)

где прежние коэффициенты A\, A\, А'ъ выражения (II, 7) связаны с новыми следующим образом:

А, = -

к' 1 к'

--- Sp А2 = ---- Sn;

x - s v 2/z (a; - s)3

После введения полярных координат из (II, 49) получим:

rLU] = - -Ц- f-i- р'4 Si - р'* cos 6 l.Su + 2

+ ±9>\0S4ll(3Slu + I*Slv) +

+ y sin29, /? (Sni + iv) - P c°s в' /? Sv]. (II, 50)

Рассмотрим следствия этих зависимостей.

Сферическая аберрация третьего порядка. Если все коэффициенты, кроме первого S\ , равны нулю (Sn = Sm = Srv = Sv =0), то оптическая система обладает только сферической аберрацией третьего порядка.

Из (II, 46) и (И, 48) находим:

bgU] = km{m2 + M2)S} = fcp3 cos 6 S, ; SGin = kM (m2 + M2 )Si =k?2 sin 6Si,

(11,51)

где

2n (x - s)3

Результирующая 8/?ш поперечная аберрация выразится:

Win = К + SG;2, = ftV ST; (II, 52)

т. е. окружности радиуса р' в плоскости выходного зрачка соответствует также окружность радиуса 6#1П; величина кружка рассеяния лучей в плоскости изображения пропорциональна третьей степени р': Как следует из (II, 50), волновая сферическая аберрация третьего порядка возрастает пропорционально четвертой степени координаты р'

rLm--T(737)P4S- <П'53)

Из (II, 47) следует, что = tgQ\ из (II, 51), находим:

= tg6;

таким образом, каждой точке пересечения луча в плоскости выходного зрачка соответствует точка пересечения того же луча в плоскости изображения; причем обе точки расположены в одной и той же плоскости, проходящей через оптическую ось.

То обстоятельство, что линейное возрастание радиуса вектора на выходном зрачке соответствует возрастанию радиуса кружка рассеяния лучей в плоскости изображения пропорционально величине р'3, приводит к огромной концентрации лучей в средней части фигуры рассеяния вследствие быстрого изменения площади последней (пропорционально величине р'в). Для иллюстрации явления разделим площадь круглого выходного зрачка на пять концентрических колец,радиусы которых р' относятся как 0,2:0,4:0,6: 0,8: 1, т. е. образуют арифметическую прогрессию. Соответственно площади этих кругов будут изменяться пропорционально квадрату радиусов (р'2), т. е. в отношениях 0,04 : 0,16 : 0,36 : 0,64 : 1; площади кольцевых зон будут изменяться пропорционально разностям (Др2) этих величин.