В табл. II, 1 приведены относительные величины радиусов кружков рассеяния, пропорциональные р'3, и площади кольцевых зон кружков рассеяния, пропорциональные разностям Дб#2. В столбце 8 приведены относительные величины концентрации лучей в кольцевых зонах кружка рассеяния.

Таблица 11,1

Концентрация лучей в фигуре рассеяния в плоскости Гаусса при сферической аберрации третьего порядка

Как видим, в центре фигуры рассеяния концентрация колоссальная, но создают эту концентрацию лишь 4% лучей (р'2 = 0,04). Около 2/8 площади выходного зрачка, что соответствует первым четырем построенным на нем кольцевым зонам, заполнены лучами, распределенными лишь на V4 площади кружка рассеяния, т. е. в пределах вдвое уменьшенного радиуса (б/? 0,5) кружка рассеяния.

Приведем результаты расчета концентрации лучей в кружке рассеяния, выполненного Г. Г. Слюсаревым [16], разделившим площадь кружка рассеяния пятью концентрическими кругами, радиусы которых равномерно возрастают в той же арифметической прогрессии: 0,2 : 0,4 : 0,6 : 0,8 : 1. Оказалось, что в центральном (наименьшем) круге сосредоточено 34% лучей из числа всех заполняющих выходной зрачок; во втором кольце - 20%; в третьем- 17%, в четвертом - 15% и в последнем - 14%. Таким образом, и при таком способе подсчета оказалось, что в пределах площади кружка рассеяния, соответствующей радиусу 0,6 от максимального значения (б/?) сосредоточено 71% всех лучей, т. е. лучей, заполняющих 71% площади выходного зрачка. Полученные результаты близки к критерию, применяющемуся на практике: около 70% энергии формирует ядро изображения точки.

Размеры кружка рассеяния зависят от положения плоскости установки. Как показывают элементарные выкладки, плоскость наименьшего кружка рассеяния расположена слева от плоскости параксиального (гауссового) изображения на расстоянии дт, равном

Дт= Y5SKP (П'54>

где 6sKp - продольная сферическая аберрация крайнего луча, который образует апертурный угол и'кр с оптической осью:

Воспользовавшись (II, 51) и (II, 40), получим:

6s =

(II, 540

при этом радиус наименьшего кружка рассеяния (г'мин)будетв четыре раза меньше радиуса кружка рассеяния Ш' в гауссовой плоскости:

(11,55)

II, 4. Плоскость наименьшего кружка рассеяния лучей

Точка О (рис. II, 4), определяющая графически величину радиуса наименьшего кружка рассеяния лучей, образуется пересечением двух лучей: крайнего, идущего под углом и'кр к оптической оси, и луча,

образующего с осью угол -i- и'кр

и, следовательно, обладающего сферической аберрацией, равной

- -j-8sKp. Как показывают исследования, световая энергия в кружке наименьшего рассеяния распределяется таким образом,что и в центре и на краю кружка имеются максимумы освещенности. Очевидно, такое распределение не соответствует максимуму разрешающей силы системы: по теории дифракции наилучшая плоскость установки при наличии в системе лишь аберраций третьего порядка расположена слева от гауссовой плоскости на расстоянии --g-6sKp.

По представлениям волновой оптики существует следующая общая зависимость между волновой аберрацией L и продольной сферической аберрацией 6s:

L = j bsudu = ~- J b$d ; (И> 56)

эта формула следует из (II, 6) и (II, 9), если обратить внимание, что г' = -(x-s).

Продольная сферическая аберрация на оси может быть представлена многочленом, содержащим четные степени параметра т! или и':

-V - = а'и'2 + bu4 + с'и'* + , (II, 56)

где а! = lySi (см. II, 45) и6,= 6Я'3(х'-s). (см. II, 3)

Непосредственно можно вычислить только коэффициент Sj ; расчет коэффициента Ъ* - задача более трудная. Поэтому проще всего, что на практике и делается, построить график зависимости функции 6s по аргументу и'2 и решить задачу расчета интеграла ЦП, 56) графическим методом. График функции строится на основании результатов непосредственного расчета лучей через оптическую систему.

В частном случае, когда оптическая система обладает лишь аберрацией третьего порядка, из (II, 55) и (II, 55) имеем:

или из (II, 54):

Ll\\ *su2 СЛ* , ,а

X 4Х

= 4508sV > (11,58)

где - волновая аберрация в длинах световых волн; при этом

принято, что X = 0,00055 мм. В плотности установки, смещенной относительно плоскости параксиального изображения на некоторую величину Д, вместо ряда (II, 56) получается разложение вида 6s =

= Д Л-а'и!2 + ; в выражении волновой аберрации появляется еще член, пропорциональный второй степени и':

blL = *HL + *HlL = Jl + bsu2 . (И, 59)

X 2X 4X 2X 4X v /

Этот добавочный член вызванный дефокусировкой изображения, имеет большое значение: определенным выбором величины смещения плоскости установки (Д) можно добиться перераспределения как геометрических, так и волновых аберраций, а тем самым улучшить распределение энергии в кружке рассеяния лучей.

В частности в плоскости наименьшей волновой аберрации величина

будет приблизительно в четыре раза меньшей, чем в плоскости Гаусса (II, 58):

(--)mhh 110 8sw8. (11,60)

По сравнению с другими монохроматическими аберрациями характерной особенностью сферической аберрации является ее независимость от положения точки-объекта в плоскости предмета; иными словами, сферическая аберрация не зависит от угла поля до (или до).

Остаточные аберрации оптической системы обычно представляются не только в виде таблиц, но и графически. Обычно приводятся гра-