фики продольной 6s и поперечной 8g сферической аберрации, представленные в виде функций координат т, и! или tgu.

На рис. II, 5, а представлена кривая продольной сферической аберрации третьего порядка, имеющая вид обычной (квадратичной) параболы; на рис. II, 5, б дан график поперечной сферической аберрации третьего порядка 8g\ которая пропорциональна третьей степени параметра и' (или т) и, следовательно, изменяет свой знак при изменении знака параметра и'\ на рис. II, 5, в и II, 5, г даны графики

Рис. II, 5, Графическое представление сферической аберрации

продольной и поперечной сферической аберрации при наличии в оптической системе не только аберраций третьего порядка, но и аберраций высших порядков. Для построения этих кривых обычно вычисляется ход нескольких лучей (от двух до четырех - в зависимости от сложности кривой), пересекающих входной зрачок, на разных расстояниях тх и обычно выбираемых так, чтобы их квадраты составляли арифметическую прогрессию; еслирадиус зрачка АкР, то берут тх равным либо

]/1лкр и V либо ]/iA<P, j/yV Y\h

кр и кр-

Для удобства оценки величины поперечной аберрации не только в гауссовой плоскости, но в некоторой предполагаемой плоскости наилучшей установки, смещенной относительно плоскости Гаусса, рекомендуется на графике поперечной аберрации проводить некоторую вспомогательную прямую аа (рис. II, 5, г), наклон которой относительно оси ординат будет тем больший, чем больше смещение плоскости установки относительно плоскости Гаусса. Поперечные аберрации лучей в смещенной плоскости будут теперь отсчитываться не от вертикальной оси, а от наклонной прямой сю!. Угол ф наклона прямой аа, проходящий через начало координат, связан с величиной смещения плоскости установки Д относительно плоскости Гаусса зависимостью:

tg<p=- -L = A, (11,61)

tg их ы,

гДе 6glf и\ - координаты любой точки, взятой на прямой аа. Применением этого способа исключается необходимость специальных Построений графиков аберраций для нескольких плоскостей установи для суждения о распределении кружков рассеяния лучей в этих плоскостях; ориентировочная же оценка влияния смещения плоскости

установки оказывается вместе с тем необходимой, поскольку положение плоскости наилучшего изображения возможно предвычислить лишь весьма приближенно. Например, если сферическая аберрация для края зрачка корригирована, как показывает опыт, величина д достаточно точно может быть определена формулой:

где 6s30HbI - продольная сферическая аберрация для луча на зоне зрачка т = ]/ЛЯкр; коэффициент F= 0,7-0,8.

В заключение укажем, что даже идеальная в представлении физической оптики оптическая система имеет геометрические аберрации, величинам которых соответствуют волновые аберрации, непревышающие четверти волны. По мере возрастания сферической аберрации яркость центрального дифракционного пятна (см. главу III) уменьшается и световая энергия переходит в окаймляющие его кольца, увеличивая их яркость; при больших аберрациях дифракционное изображение точки размывается и приобретает вид фигуры рассеяния: пригодность такого изображения зависит от величины этой фигуры и от назначения оптической системы.

Кома; условие синусов. Исправление сферической аберрации является необходимым условием для получения удовлетворительных изображений точек, расположенных как на оси, так и вне оси оптической системы. Однако исправление этой аберрации еще не достаточно для обеспечения хорошего изображения лаже точек, расположенных вблизи оптической оси, если при этом не корригирована аберрация кома.

Если все коэффициенты, кроме второго Sn , равны нулю, то оптическая система обладает только комой третьего порядка. Из (II, 46) и (II, 48) находим составляющие аберрации комы:

8Gm = - k 2mM li Su = - k P*sin 26 h Su (n>62)

Таким образом, кома пропорциональна квадрату отверстия и первой степени удаления точки-предмета от оптической оси. Для изучения комы снова рассмотрим совокупности лучей, определяемых окружностями в плоскости выходного зрачка.

Можно показать, что каждой окружности в плоскости выходного зрачка соответствует окружность в плоскости изображения; действительно, из (И, 64) находим:

(11,61)

Ч'т +2kP llSl] =-V4cos29SIi; 8Gm =-k/lx sin 29 S ;

(11,62)

отсюда следует:

(11,63)

Таким образом, точка (6#ш; ббш) описывает окружность, радиус которой 6R = kpHu пропорционален квадрату радиуса вектора р' в плоскости выходного зрачка; центр ее находится на расстоянии 2kp,H1S\\ = 28/? от положения гауссова изображения, причем этот центр расположен в меридиональной плоскости; его расстояние от гауссова изображения, таким образом, пропорционально квадрату р'. Например, если р' - радиусы окружностей в плоскости зрачка возрастают по закону арифметической прогрессии, то радиусы 8R - окружностей в плоскости изображения растут в геометрической прогрессии (пропорционально р'2), а расстояния между центрами окружностей растут в арифметической прогрессии.

Пусть р'х: р2: р8: р4: р6 = 0,2: 0,4 : 0,6 : 0,8 : 1; тогда 8R\: 8#2: 8#3: &#V W5 = l2: 22: З2: 42 : 52; расстояния между центрами окружностей возрастают в отношениях bR\: (6R\ - bR\) : (8#3 - 8#\) : (8#4-8#3) : (8#5 8#4) = 1 : 3 : 5 : 7 : 9, т. е. в арифметической прогрессии. Рис. II, 6 изображает фигуру рассеяния при аберрации комы третьего порядка.

Когда луч вычерчивает окружность на выходном зрачке, точка его пересечения с плоскостью Гаусса описывает окружность дважды; это следует из выражений (II, 62), в которые входит удвоенный угол 26 в аргументы косинуса и синуса. Если луч движется

вдоль радиуса р' в плоскости выходного зрачка (т. е. угол б' не изменяется), соответствующая точка пересечения луча с плоскостью изображения также описывает прямую. Все эти прямые проходят через гауссово изображение точки.

Огибающими всех окружностей, образующих фигуру рассеяния на рис. II, 6, является пара прямых, составляющих углы 30° с осью симметрии изображения. Это следует из (II, 63), если представить семейство окружностей, образованных при переменном параметре р'. Дифференцируя это уравнение, находим:

2 (ьёт + 2* Р h Sn )4* Р' h Sn - 2 (* р h Sn ) 2k p k Sn = 0,

Рис. при

II, 6. Фигура рассеяния аберрации комы третьего порядка

k р' lt Su = -

После подстановки в (II, 63) имеем:

-=-Vin-Wm = 0

или