тура пучков велика, то аберрации изображения точки, расположенной даже в непосредственной близости от оптической оси, оказывается возможным определить только путем непосредственного расчета хода нескольких лучей через систему.

Однако в оптике известно весьма простое по форме, но глубокое по смыслу условие синусов, являющееся критерием качества изображения точек, лежащих весьма близко к оптической оси. Условие синусов является необходимым и достаточным условием существования совершенного изображения элементарного отрезка dl, перпендикулярного оптической оси (а следовательно, и всего элемента площади), сколь угодно широкими пучками лучей, если точка этого элемента на оси имеет совершенное изображение, т. е. изображается без сферической аберрации.

Условие синусов имеет простую формулировку:

тС dV sin и! = ndl sin и, (11,67)

где dl и dl - элементы предмета и изображения, расположенные перпендикулярно оптической оси; и и и' - апертурные углы лучей, проходящих соответственно через осевые точки предмета и изображения; пил' - показатели преломления сред пространства предметов и изображений.

Пара сопряженных точек на оси оптической системы, для которых вполне исправлена сферическая аберрация и, кроме того, выполнено условие синусов, называется парой апланатических точек.

Реальные оптические системы с большими зрачками не дают таких совершенных изображений: даже для точки на оси удается исправить сферическую аберрацию только для двух, редко для трех лучей; остальные лучи широкого пучка имеют неустранимую сферическую аберрацию. В этом случае, если условие синусов выполнено, качество изображений точек элемента плоскости, перпендикулярного оптической оси, будет одинаковым с качеством изображения точки на оси. Такое изображение элемента плоскости называют изопланатическим, т. е. имеющим одинаковые погрешности или недостатки. В геометрической оптике уже в 1919 году одновременно и независимо Штебле и Лигоцким было сформулировано необходимое и достаточное условие существования изопланатического изображения элемента плоскости, перпендикулярной оптической оси системы.

Формула Штебле-Лигоцкого имеет следующий вид:

S3in= /Г' , -1---¥~г. (И.68)

р0л shim s

где 8s - продольная сферическая аберрация; р0 = л--параксиальное увеличение. Эта формула является обобщением условия синусов и превращается в формулу (II, 67) при 6s = bsin = 0.

Выражение bsin может быть представлено также в следующей форме:

881п = -ЛШШ--1 = JkzJlL = JL , (Ц.68)

Msina Ро Ро

где

от nsinu -к an

tl sin m a/l

Формулам (II, 68) и (II, 68) может быть придана обобщенная запись 7]==4 + i£l , (ц,б9)

где г\ -характеризует отступление от условия изопланатизма, так как при т| = 0 приходим к условию Штебле-Лигоцкого.

Из теории аберраций третьего порядка вытекает приближенная зависимость между аберрацией меридиональной комы К (II, 65), б^ш (II, 62) и величиной т|:

K = *gm =3/4 (11,70)

где V = JVi -расстояние изображения точки от оси системы.

Ограничившись областью аберраций третьего порядка, из (II, 69), (II, 70) и (II, 46) и при нормировке (II, 20) получим:

где / = п'1d = -п'{х'-s)fl и Yp = р- = угловое увеличение в

зрачках системы.

Автором [4] была получена простая и удобная для практического применения формула, связывающая меридиональное поперечное увеличение =-jr1 сагиттальное увеличение 08 = и параксиальное alm ais

увеличение р0 = jpj, :

Рт = 3,-2 р0. (11,72)

Заметим, что если условие синусов выполнено, то Рт = 05 = Ро = = const.

Эта формула справедлива в пределах аберраций третьего порядка. Из (II, 72) и (II, 71) находим:

Таким образом, выражение, стоящее в правой части (II, 71), оказывается возможным определить из расчета меридионального и параксиального лучей, направленных соответственно под углами и и а к оптической оси. Для сагиттальной комы Конради [24] была выведена следующая формула, приводимая в принятых нами обозначениях:

Км = [8sln + (1 + Ssin) Т^г] ( >74>

где ls -линейный элемент предмета в сагиттальном направлении. Заметим, что если сферическая аберрация полностью устранена (6s=0) и условие синусов выполнено (б81п = 0), то сагиттальная кома Ks = 0.

Таким образом, исправление комы связано с выполнением условия синусов; эта связь имеет место как в меридиональном, так и в сагиттальном сечении. Для бесконечно удаленной плоскости предметов условие синусов принимает вид:

-Ат = / = const = (П,75)

sin и

Относительное отступление от условия синусов выразится в этом случае формулой:

ssin=7r-(-AT-/;)=1, due)

/0 v sin и' и / /0

где 8/=/-Го-

Условие изопланатизма Штебле-Лигоцкого (II, 68) запишется в виде:

sm = -у =--~,-- > (И,76)

/о х -s

или

Ь? I 5S /ТТ 774

= - + 37 - (П.77)

Во многих системах выходной зрачок совпадает с их задней главной плоскостью или расположен близко к ней; тогда х'-s = - /0 и формула (II, 77) принимает более простой вид:

(11,78)

отсюда для поперечной комы получим:

Viii =3/=-3 tgwt (ЬГ -bs% (11,79)

где Wi - угол с оптической осью главного луча, пересекающего заднюю фокальную плоскость системы на высоте Г.

Астигматизм и кривизна поверхности изображения. Если все коэффициенты, кроме Sm и SiV, равны нулю (Si = Su = Sv = 0), то оптическая система обладает астигматизмом и кривизной поверхности изображения третьего порядка:

Из (II, 46) и (II, 48) находим:

\gm = kmP{(3Sm +/2SIV) = = *ycose/2(3Sin + /2SIV);

Min-*A 1(sin+ iv)-

= £Vsinew2(Sln + /2sIV).

(11,80)