Как известно, элемент ds, взятый на кривой StSz, следующим об- 1

разом связан с кривизной этого элемента:

где R - радиус кривизны траектории луча в точке М, причем центр С кривизны элемента ds расположен на нормали, проведенной в точке М в той ее части, где показатель преломления больше, т. е. луч света искривляется в направлении возрастания градиента показателя преломления.

Можно выразить [18] элемент ds траектории луча через составляющие градиента показателя преломления по осям координат:

±(n*L)a*L; ±(n*L) = *L. (1,4)

ds \ ds J dx ds \ ds J dy

Эти дифференциальные уравнения определяют траекторию луча, если показатель преломления представлен известной функцией координат: - >

n = F(x, у).

Кривизну - траектории можно определить, воспользовавшись

теоремой, что величина - равна проекции вектора градиента g на направление нормали к дуге кривой ds:

4 = S cos а, (1,4я)

где а - угол между вектором градиента g и нормалью к траектории луча в точке М.

Пусть показатель преломления стекла изменяется вследствие, например, наличия температурного градиента в среде и возрастает в направлении, перпендикулярном оптической оси, вдоль которой направлена ось X:

n = n0 + gy. (1,5)

Обозначив ф - угол между касательной к траектории луча и осью X (см. рис. I, 6), имеем:

dx . du

COS cp = -; sin <p = -- .

ds ds

Интегрируя уравнения (I, 4), приняв во внимание, что

дп п сп

-= 0 и -= g>

(I, 5)

находим:

П -gj- = П COS <р = П0 COS <р0 ,

п = nsin<р = п0 sinсро + gs,

где /10 и ф0 - значения функций л и ср в начальной точке траектории, для которой s = 0.

Из первого уравнения (I, 5) имеем:

n0 cos ф0

cos ф = ---

п

отсюда:

±Y rt2-fngcos2<p0

дх ° 1 л0 cos <р0

Знак радикала должен быть таким, как и знак tgcp. Интегрирование уравнения дает:

J / п* + п\ COS*

где n является функцией у (см. I, 5). Радиус кривизны траектории луча во всех ее точках определится из (I, 4), если положить а = ф:

-L = Xcos<p. (1,5 )

Эту формулу совместно с (1,5) весьма удобно применить, если величина градиента g = щ мала.

Показатель преломления стекла п линейно изменяется при изменении температуры t в нешироких пределах:

п = п0 + р**,

где 0* - указываемая в каталоге оптического стекла величина температурного приращения показателя преломления.

Предположим, что температура стекла равномерно возрастает от оптической оси к краю линзы:

dt -

~ = ъ

где у - значение градиента температуры. Отсюда находим:

дп дп dt ОЛ - ду dt ду

У оптических стекол величина 0* очень мала; если градиент температуры у невелик, то градиент показателя преломления g также мал

и, следовательно, кривизна траектории небольшая (см. I, 5 ) и

достигнет максимального значения при q> = 0, т. е. когда направление касательной к траектории луча составляет прямой угол к направлениям градиента g показателя преломления. Кривизна - обратится

в нуль при направлении луча вдоль направления градиента (ф = 90°): луч проходит в этом направлении без искривления.

Определим угол отклонения Аф луча, прошедшего дугу s траектории. Эта дуга по форме близка к окружности очень малой кривизны, так как радиус кривизны R велик (см. I, 5 ) и его величина мало изменяется в разных точках траектории:

Дер = - = Cos со

(I,5W)

так как s соБф = х вследствие малой кривизны луча, находим:

П П

Приходим к выводу, что угол отклонения лучей не зависит от их направления; если данная толща стекла проходится пучком лучей различного направления, то все лучи пучка поворачиваются на одинаковый уголДф.

Пусть, например, градиент температуры в стекле у

= 0,05; см

температурное приращение показателя преломления р* = 3-10~в; после прохождения 100 см толщины стекла луч отклонится на 10 5 радиана, или на 2 . Заметим, что пучки лучей, идущие ниже оптической оси, отклонятся на тот же угол, но в противоположную сторону, вследствие осесим-метричного температурного градиента.

Преломление пучка лучей через плоскую поверхность. Гомоцентрический пучок лучей после преломления через плоскую границу раздела АВ (рис. 1,7) двух среде различными показателями преломления (п и п') перестает быть гомоцентрическим. Из светящейся точки S, лежащей на расстоянии s от плоскости, распространяется гомоцентрический пучок лучей. На рисунке углы падения и преломления i и V отрицательны по знаку. Отрезок s также отрицательный. Введем здесь правило знаков для отрезков, принятое в оптике.

Отрезки прямых отсчитываются от вершины преломляющей поверхности (или от другой точки, указываемой в каждом отдельном случае) и считаются положительными, если идут по направлению распространения света, и отрицательными - при обратном направлении. При этом свет всегда предполагается идущим слева направо. Ус-

Рис. I, 7. Преломление луча на плоской границе раздела двух сред