Возведя в квадрат обе части этих выражений и сложив их, находим:

[*?t(*Su +i*S Y\ + [*?t(S +!*S )] L (IL81>

Получили уравнение эллипса с полуосями а = &р' (3Sni +

Ч-Я^у) и b =k9P{(Sin + PSly).

Величины а и b растут пропорционально первой степени параметра р' и второй степени lt. На рис. II, 11 представлена фигура рассеяния для некоторой точки предметов (величина lt фиксирована). Световая

Рис. II, 11. Фигура рассеяния при астигматизме

Рис. II, 12. Изменение аберрации 6g* при перемещении плоскости установки

энергия в этой фигуре распределена равномерно, так как площади эллипсов {nab) фигуры рассеяния возрастают пропорционально площади кругов яр'2 на зрачке.

Рассмотрим сечение того же пучка лучей некоторой плоскостью установки, параллельной гауссовой плоскости, но смещенной на величину - Д (рис. II, 12). В гауссовой плоскости, проходящей через точку S0 параксиального изображения, аберрация равна б^ш; в плоскости S аберрация равна 8gm. Из элементарных геометрических построений можно получить:

o-(l + )v ,-f*.

где р' = -(*-s); аналогично для сагиттальной составляющей

W i-(1 + £)Wni Пренебрегая величинами второго порядка, и

fin = Ь£т--у- А> Щи = 8Giu ~~Г^

находим: (11,82)

Рассмотрим некоторые типичные случаи выбора величины смещения плоскости установки.

1. Выберем положение плоскости установки, при котором 6 = О-Из (II, 82) и (II, 80) находим:

А = bg1 = kP % (3Sm + Р Sv) 5 ( *83>

сагиттальная составляющая 8G ш в этой плоскости будет равна:

8G; = - 2*M/JS, ,

в

Рис. II, 13. Структура астигматического пучка

т. е. фигура рассеяния эллиптической формы вырождается в линию М, перпендикулярную меридиональной плоскости; длина этой линии (рис. II, 13):

Щп = 4ft М! Рх Sm = 4ft р' l\ Sln., (11,83)

где р' = ЛГ при 6 = 90°.

2. Выберем положение плоскости установки, при котором 8G -0. Из тех же выражений (II, 82) и (II, 80) находим:

Д = - Р'Ч( ,п + PSW). (11,84)

Меридиональная составляющая 6#ш в этой плоскости будет равна:

bglu = 2kml2[Slll9

т. е. фигура рассеяния вырождается в линию S, перпендикулярную оси (рис. II, 13) и лежащую в меридиональной плоскости; длина этой линии равна:

= 4ftm /? Sm = 4ft Р' PxSm ; (11,84)

как видим, эта длина пропорциональна радиусу выходного зрачка.

3. Выберем положение плоскости установки между двумя предыдущими, т. е.

Из (II, 80) получим:

A = kpP{[2Slu + I*S}y]. (11,85)

После подстановки в (И, 82) и учета (И, 80) находим:

Возведя в квадрат эти выражения и сложив их, получим:

Sim + <, = (* l\ Sn.)2(* + М ) = {kl\ Р' S.n)S- (П>85)

Таким образом, фигура рассеяния в этой плоскости установки будет иметь вид окружности (см. рис. II, 13), радиус которой bR равен:

8#=fc/*pSni; (11,86)

т. е. величина bR пропорциональна радиусу выходного зрачка р\

4. Особый интерес представляет предыдущий случай применительно к объективу, у которого корригирован третий коэффициент аберраций (.Sm = 0); в этом случае bR = 0 (см. II, 86). Фигура рассеяния, имевшая в этой плоскости установки форму круга, выродилась в точку, т. е. пучок лучей является гомоцентрическим, а вершина его расположена на расстоянии Д = kpl\PS\v (см. II, 85) от плоскости Гаусса. Как видим, это расстояние Д растет пропорционально Ри т. е. по простому параболическому закону. Кривизна поверхности этого параболоида, как следует из (II, 85) и (II, 85), будет равна:

= =2ftp/2SIV> (и,87)

где Rm = Rs = R - радиусы кривизны поверхности изображения, по которой располагаются вершины (центры) гомоцентрических пучков лучей, вышедших из объектива; каждая из этих вершин пучков является изображением соответственной точки предмета. В плоскостях установок, смещенных на произвольные величины, изображения точек будут иметь вид круглых светлых пятен.

Воспользовавшись общим выражением волновой аберрации (II, 50) третьего порядка и положив Si = .Sn = .Sm = 0, можем написать:

Т'L = ~Т 2у-0 [C°S26(3Sin + 72Slv) +

+ sin26(Sm + PS )]9 (11,88)

где k = 2п'(х'-s)* т* е' волновая аберрация при астигматизме в центре поля отсутствует и растет пропорционально квадрату линейного поля предмета /А или изображения / = 0/4.