При рассмотренном выше случае, когда Sm = 0, находим:

rLm -~±£!L±FSW. (11,88)

Отсюда очевидно, что волновая аберрация будет отсутствовать в точках изображения, смещенных пропорционально квадратам их расстояний от оптической оси (Г2 = fl2/2i); этим определится кривизна (II, 87) поверхности, по которой расположатся центры сферических воли, вышедших из оптической системы.

На основании изложенного можно дать общее определение астигматизма как аберрации, при которой изображение точки-предмета, находящейся вне оси и образуемое узким пучком лучей (в теории аберраций третьего порядка предполагается, что т' и М' малы), оказывается в виде двух линий, расположенных перпендикулярно друг другу и на разных расстояниях от плоскости Гаусса. Это явление возникает вследствие того, что лучи наклонного пучка, расположенные в меридиональном и сагиттальном сечениях, имеют различные точки сходимости- точки меридионального и сагиттального фокусов

бесконечно тонкого наклонного пучка. Рис. И, 14. Определение

Определим расстояния этих астигматических 2ж^жус Геастн?мат2-

фокусов от плоскости ГауССа. На рИС. II, 14 ческого пучка

представлено меридиональное сечение пучка лучей, выходящих из зрачка системы Р\РГ2-

Определим линию рассеяния А\А\ пучка в гауссовой плоскости S0. Обозначив расстояние гауссова изображения А' от оси буквой /, получим:

S-0A[=l + bg[ и S;=/ + 8; линия рассеяния А\А\ определится формулой:

из подобия треугольников находим:

Н2 - ьб\ - 2т'

-~хт Р'+Хт

Пренебрегая х'т в знаменателе правой части, получаем:

*т = -£г(*82-*ё[)- (И.89)

Вычисляем разность 8ga-б^, дважды применяя первую из формул (II, 46):

*т =-4г гДг(35ш + PSlv). (11,89)

=---1-(3Sm + PS.V)

2л' {x-sf * 111 IV

Аналогично получим для расстояния х' 8 сагиттального фокуса:

(Sl + 72Sv) (П'90)

Проекция астигматической разности на ось, характеризующая астигматизм системы, пропорциональна коэффициенту Sin:

х* - х' =--J-SIIT. (11,90)

Для фотографического объектива, когда плоскость предметов бесконечно удалена, положив

S ->- - со

и / = -ль получим:

л; = -

1 /ш*(35ш+ ?5,у);

i~r ?(S..,+Slv);

<-*m-Jrr<Snr ( 91)

Эти формулы определяют кривые -геометрические места меридиональных и сагиттальных фокусов с различными углами наклона к оптической оси; обе кривые имеют форму парабол с различными параметрами, касающиеся одна другой в точке на оси системы. Радиусы кривизны Rm и Rs в вершинах парабол определятся из соотношений:

где V = Ро -линейное увеличение системы.

Выше были рассмотрены виды фигур рассеяния лучей в изображении точки, образуемые астигматическим пучком (см. рис. II, 13). Пучок формирует изображение точки В в виде двух астигматических фокальных линий: линии меридиональных фокусов М и линии сагиттальных фокусов S. Сечение пучка плоскостью, расположенной между линиями М и S, образует фигуры рассеяния лучей, имеющие вид эллипсов, с различной ориентацией их осей.

Расстояние SM между меридиональным и сагиттальным изображениями точки В, отсчитанное по главному лучу, называется астигматической разностью; проекцию отрезка SM на оптическую ось называют проекцией астигматической разности. Очевидно, если астигматическая разность равна нулю, то астигматический пучок вырождается в гомоцентрический.

При изображении протяженного объекта необходимо последний рассматривать как совокупность светящихся точек, каждая из которых изображается астигматическими пучками. Например, если объектом является отрезок АВ прямой линии, расположенной в меридиональной плоскости (рис. II, 15), то для каждой из точек этой линии находим сагиттальные и меридиональные изображения соответствующих точек предмета и отмечаем на каждом главном луче положение этих изображений. Соединяя все эти точки, получим геометрическое место SA и МА сагиттальных и меридиональных изображений элементов прямой АВ; при этом каждая точка отрезка АВ изобразится меридиональными пучками в виде сагиттально расположенных отрезков,

Рис. II, 15. Поверхности изображений, Рис. II, 16. Изо-

образуемые астигматическими пучками бражение отрезка

прямой астигматическими пучками

длина которых возрастает пропорционально квадрату расстояния от центра (рис. 11,16, а); это и будет меридиональным изображением МА объекта АВ. Каждая точка отрезка АВ изобразится сагиттальными пучками в виде элементарных отрезков, расположенных в меридиональной плоскости; накладываясь друг на друга, они дадут резкое изображение (рис. II, 16, б) SA прямой АВ.

Противоположную картину получим, если объектом будет прямая, проходящая через точку, лежащую вне оси и расположенную сагиттально. Очевидно, наиболее резкое изображение этой прямой будет образовано меридиональными пучками лучей, расположенными на кривой меридиональных фокусов.

Сложнее будет картина, если объектом является двумерная фигура, например, система кругов с центром на оптической оси и их радиусов (рис. II, 17, а). Объектив, имеющий астигматизм, не может дать одновременно резкого изображения обеих систем линий. Изображения, образованные элементарными меридиональными пучками, будут иметь вид, представленный на рис. II, 17,6, т.е. окружности изобразятся резко, так как элементарные астигматические фокальные линии, на-лагаясь одна на другую, не исказят рисунка; изображения радиусов будут размытыми; вместо точек получатся элементарные линии, длина которых возрастает при удалении от центра изображения. Изображения, образованные элементарными сагиттальными пучками лучей, показаны на рис. II, 17, е.

C..C