Кома высшего порядка, определяемая теми же уравнениями (11,3): *£v = В'9(Зтг+М'*) lB*(2 +cos2B)l\; ]

(11,120)

bGy = 2B9tn М' l\ = В'9 p2sin 26 l\ . J

Из сопоставления с комой третьего порядка (II, 62) видим, что форма фигуры рассеяния не изменяется и различается лишь размерами: составляющие аберраций 8gv и 8GV пропорциональны кубу параметра /Зх, а не первой степени llt как при аберрации комы третьего порядка. Это непосредственно видно, если написать, воспользовавшись (II, 120), уравнение кривой рассеяния:

(8 - Щ р 1\ У + 8G; = (В9 р )2 = 8< ,

т. е. радиус окружности 8#v, описываемой точкой (6gv; 8GV), возрастает пропорционально кубу li9 а не первой степени /А(Н, 63). И в этом случае огибающими всех окружностей, образующих фигуру рассеяния, является пара прямых, составляющих углы ±30° с осью симметрии изображения.

Дисторсия высшего порядка (по отверстию). Аберрация дисторсии высшего порядка по отверстию определяется уравнениями:

bgv = зв; т,% i\ = зв; Р'81\ cos2 6, sg; = о, (11,121)

т. е. эта аберрация не зависит от координаты М' и пропорциональна квадрату т'. Фигура рассеяния представляет прямую линию, длина которой чрезвычайно быстро возрастает по мере удаления от оптической оси, так как аберрация 8gv пропорциональна кубу удаления точки-предмета 1г.

Боковая кривизна с астигматизмом. Эта аберрация определяется уравнениями:

bgy =2(В[ + В'7)т'14{ =2(£; + B;)Pcos6;

f (11,1210

8G; =2B[Ml4l=2B[Pl* sine.

Из сопоставления с уравнениями (II, 80), описывающими аберрацию кривизны и астигматизма третьего порядка, следует, что в обоих случаях фигура рассеяния представляет собой семейство эллипсов:

flY I ° v 1 л i 121 )

[2(В[ + В'7)9 /}] + [2Bl9l\Y КПАП >

но в данном случае полуоси эллипса а = 2(В\ + BJplf и b = = 2В\ p/j4 пропорциональны четвертой степени 1\л

Дисторсия высшего порядка (по наклону). Аберрация дисторсии высшего порядка по наклону (боковая) определяется уравнениями:

т. е. эта аберрация главного луча (не зависящая от координат т' и ЛГ), пропорциональная пятой степени величины /ХБ, в то время как дисторсия третьего порядка пропорциональна lxz.

Проведенное здесь расчленение общей аберрации пятого порядка, выражающейся рядами (II, 3), на отдельные виды аберраций является искусственным математическим приемом, облегчающим анализ вида фигур рассеяния, образуемых каждым членом ряда (II, 3). В действительности перечисленные аберрации в чистом виде не встречаются: фигуры рассеяния имеют сложную структуру - результат одновременного действия всех аберраций и не только третьего и пятого, но и более высоких порядков.

Интерполяционные формулы аберраций высших порядков. Как видели выше, сравнительно просто могут быть вычислены лишь аберрации третьего порядка. Вместе с тем аберрацию любого порядка (пятого, седьмого, и т. д.) можно представить в виде ряда, члены которого содержат коэффициенты аберраций соответствующих порядков и координаты, определяющие положение луча и задаваемые обычно величинами, относящимися к пространству предметов или изображений.

Из расчета хода лучей через оптическую систему могут быть определены величины аберраций, но чрезвычайно затруднительно отделить в этой результирующей порядки аберраций, отдельные их составляющие и соответствующие коэффициенты. Желательность проведения подобного анализа мы усматриваем в двух случаях:

1) при построении аберрационных фигур рассеяния лучей широких наклонных (косых) пучков. Определение соответствующих интерполяционных формул, позволяющих быстро и просто вычислить аберрации любого количества лучей, выбранных любым образом на зрачках оптической системы, могло бы привести к экономии машинного времени. Вместе с тем исследование фигур рассеяния абсолютно необходимо при анализе прежде всего нового разработанного объектива, свойства которого еще малоизвестны;

2) при анализе состояния коррекции высококачественного объектива, аберрации которого настолько малы, что не поддаются надежному определению обычными методами лучевой оптики. Малые величины аберраций могут оказаться на пределе точности их вычислений; эти погрешности вычислений сравнительно легко обнаруживаются при аналитической обработке полученных результатов расчетов.

Величины коэффициентов интерполяционных формул зависят от выбора тех опорных лучей, для которых были определены точные значения аберраций и которые были приняты в основу для определения неизвестных коэффициентов в общих выражениях аберраций.

Нам представляется методологически ошибочным в светосильных и широкоугольных объективах, каковыми и являются современные объективы, анализировать структуру широких пучков, опираясь на формулы, коэффициенты в которых определены на основании аберраций отдельных лучей пучка, если число этих лучей мало, а иногда просто равно числу искомых коэффициентов.

Каждый тип объектива имеет свою специфическую структуру пучков лучей и, следовательно, на практике часто трудно заранее указать

на зрачке системы лучи, которые целесообразно выделить как опорные для определения коэффициентов. В процесс определения величин последних должно быть включено возможно большее число лучей. Наиболее рациональным методом для решения подобной задачи является классический метод наименьших квадратов. При применении этого метода в нашей задаче необходимо знать величины аберраций группы лучей, по которым будут определены коэффициенты интерполяционной формулы. В оптической практике с помощью таблиц или на ЭВМ определяются геометрические аберрации луча - 8g и 8G.

Интерполяционные формулы будут функционально выражать те же величины 8g и 8G. В отличие от формул (II, 2) и (II, 3), коэффициенты интерполяционной формулы будут различны для разных углов поля. Чтобы не прийти к нежелательно большому числу коэффициентов, ограничимся выражением, содержащим координаты т' и М' не выше пятой степени.

Поскольку предлагаемым ниже методом мы желаем получить не только фигуру рассеяния, но и распределение волновой аберрации по зрачку, проще начать с общего представления функции волновой аберрации для данной (фиксированной) точки поля. В отличие от выражений (II, 7) и (II, 8) интерполяционная формула не будет содержать координаты 1г. Члены ряда разложения функции L, очевидно, будут содержать сомножителями при коэффициентах ряда все возможные сочетания произведений координат т' и М\ за исключением тех, в которые входят нечетные показатели степени М', что противоречило бы общему свойству аксиально-симметричной оптической системы, у которой меридиональная плоскость является плоскостью симметрии в отношении наклонных пучков лучей. Кроме того, ряд не будет содержать членов разложения первой степени, так как предполагается, что волновая поверхность и сфера сравнения соприкасаются, а не пересекаются.

Приходим к общему выражению следующего вида:

rL = JL а± т'ь + -! А2 т М'г+-А3т'я М'* + 6 2 2

+ 4- А< М'9 + 4- Я| т'ь + В2 т'й М'г + В3т'М'* +

+ ±Схт +-±-Съ т М'г + ±С3М + J- Dl т' +

4 2 4 3

+ D2 т' М'% + Et т'% + Е2 М + Ei т\

(11,122)

где г' - константа, равная радиусу сферы сравнения волновой поверхности (II, 6),т. е. г' =-(х'-s).

Смысл введенных численных множителей при коэффициентах станет ясен, если вспомнить (И, 6); взяв частные производные от функции L по т' и ЛГ, получим: