bg = Ai m% + 2A2m* M + A3 tn M*+ Bt m* + 3B2m*M2+ B3ЛГ 4 + C1m,a + C2m №* + Dtm* + D2 M,% + Et mf% + (FA); (11,123) 8G = A2m*M + 2A3 m M3 + Л4 M6 + 2B2т'м' + j n Ш) + 4В3т'М'* +С2т,гM +C3Ma + 2D2m M + E2M.j

Таким образом, меридиональная составляющая 8g геометрической аберрации содержит одиннадцать коэффициентов; при этом коэффициент Рг мы из подсчета опускаем, так как при нем не содержится множителя т! и, следовательно, он не влияет на структуру пучка: он характеризует аберрацию главного луча; поскольку изучаются аберрации широкого пучка данного наклона, можно положить Fx = 0.

Сагиттальная составляющая представлена рядом, содержащим девять коэффициентов. Общими для обоих выражений 8g и 8G - являются шесть коэффициентов: Л2, Л3, В2, В3, С2, D2; пять коэффициентов (Аи В1у С1у Dlt Et) специфичны только для ряда 8g и три коэффициента (Л4, С3, Е2) специфичны только для ряда 8G. Заметим, что если бы мы ограничились четвертой степенью параметров т' и ЛГ, то число коэффициентов уменьшилось бы только на четыре (Аъ А2, А3, Л4), т. е. вместо четырнадцати коэффициентов ряда (II, 122) имели бы десять коэффициентов: восемь, определяющих функцию 8g; шесть - функцию 8G; среди них четыре коэффициента были бы общими. При исследовании несветосильных объективов это, по-видимому, можно делать и это рекомендует М. Герцбергер в своей книге [5], у которого интерполяционные формулы содержат двенадцать коэффициентов: по шесть коэффициентов для каждой составляющей аберрации.

Легко видеть, что размерности коэффициентов рядов (II, 123) об-ратны линейным в степени, равной порядку величин т' и М' соответствующих членов ряда, уменьшенному на единицу, поскольку в левых частях выражений стоят величины bg1 и 8G, имеющие линейные размерности. Рационально при отыскании численных решений интерполяционных выражений (II, 123), чтобы избежать появления чрезмерно больших или малых чисел, ввести нормировку величин т! и М'\ в частности, их можно выражать в долях радиуса а' выходного зрачка.

Для точки на оси, вследствие осевой симметрии оптической системы, формула не содержит четных степеней координат т! или ЛГ; поперечная сферическая аберрация выражается формулой:

Ч' = At т'6 + Ci т'л + Et т\ (11,124)

где коэффициент Ех характеризует дефокусировку, т. е. положение плоскости установки, в которой определена аберрация bg\ при определении сферической аберрации в плоскости Гаусса Е{ = 0.

Определим коэффициенты интерполяционной формулы.

Сагиттальная составляющая 8G выражается девятью коэффициентами ряда; все члены ряда при ЛГ = 0 обращаются в нуль. Следовательно, для непосредственного определения (не косвенным способом) этих коэффициентов необходим расчет аберраций не менее девяти вне-

меридиональных лучей. Однако и этого, как показали опыты расчета, недостаточно: интерполяционная формула должна сглаживать распределение аберраций по всему зрачку, т. е. дать какое-то компромиссное (усредненное) описание распределения величин аберраций по площади зрачка. Наш опыт по изучению фигур рассеяния у объективов разных типов и различных оптических характеристик показал, что для достаточно надежного суждения о внемеридиональных аберрациях необходим расчет не менее 14-21 лучей (в зависимости от величины относительного отверстия объектива и его аберраций), координаты которых могут быть следующим образом распределены по зрачку (рис. II, 22). Как видим, полузрачок разделен на шесть секторов по 30° каждый; координаты лучей заданы в точках пересечения радиусов-векторов с окружностями, радиусы которых равны:

3 ,

где pm - а! - радиус выходного зрачка. Координаты лучей т' и М' определяются из выражений:

т = р cos

М' =psine,

Рис. II, 22. Распределение координат лучей по зрачку

где 9 = 0; 30; 60; 90; 120; 150 и 180°. Заметим, что, конечно, нет особой необходимости строго и во всех случаях придерживаться заданного распределения лучей; в частности, величины радиусов р' задавались нами в пределах: р'х = 0,5р'т; р'2 = 0,7 -f- 0,8р'т; р'з = 0,85ч-0,87р'т.

На основании расчета аберраций этих лучей определяем методом наименьших квадратов коэффициенты выражений bg и8С (II, 123).

По полученным значениям коэффициентов составляем ряды (II, 123) и строим с любой степенью подробности фигуру рассеяния в данной плоскости установки. Обычно положение этой плоскости определяется заранее: исходя из характера сферической аберрации для точки на оптической оси, определяют положение предполагаемой плоскости наилучшего изображения. Если же окажется необходимым рассчитать эти аберрации в новой плоскости установки, смещенной на величину Д относительно ее первоначального положения, то величины аберраций bg -и 8G в смещенной плоскости будут связаны с аберрациями bg и 8G в начальной плоскости формулами (II, 82):

где

bg = bg + (Г ~ m} Д; 8G = 8G - -у- А,

При построении фигуры рассеяния рационально в выходном зрачке объектива выбрать большое число точек, равномерно распределенных по действующей части выходного зрачка.

Разбивку зрачка на равновеликие элементы можно произвести различными способами. Если интерполяционная формула найдена, как функция параметров т! и ЛГ, то, по-видимому, проще всего построить на зрачке квадратную сетку, стороны которой задаются равными некоторой части радиуса выходного зрачка а'. Можно площадь зрачка разделить на элементы, образованные делением площади круга на равновеликие концентрические кольцевые зоны, а последние - радиусами, делящими эти зоны на равные по площади элементы. Радиусы р' концентрических колец выбираются в геометрической прогрессии:

t\ = YTa; p2=YTa;-; pt =а'> (11,125)

где а'- - радиус выходного зрачка. Одновременно площадь зрачка делится радиусами на п равных секторов. Радиусы, делящие круг на секторы и окружности, ограничивающие кольцевые зоны, пересекаются в tn точках; конечно, из этого числа точек выпадают лучи, виньетируемые объективом, что автоматически контролируется при расчете на ЭВМ, так как в программе расчета лучей предусмотрены определения координат пересечения лучей с каждой преломляющей поверхностью объектива, а световые диаметры линз известны.

Рассмотрим метод наименьших квадратов на примере определения функции &g (И, 123):

bg = f(Ai9A29. ..,£,), (11,126)

при этом для k значений величины 6gl9 bg29...,&gk известны из расчета хода лучей. Требуется определить непрерывную функцию (II, 126) f{Al9. ..,£1), для которой разности б^-/у, 8g2-/2; ...; bgk-fk были бы возможно малы. Такого рода задачи называются сглаживанием, поскольку здесь стремятся определить функцию, которая по возможности удовлетворяла бы заданным значениям 8gx, 8g2,... или, во всяком случае, имела минимальные отклонения от заданных значений bgl9 8g2,... Конечно, такой путь решения имеет смысл только в том случае, если число известных значений функций 8g больше числа коэффициентов Аъ А2,...,Е19 подлежащих определению в выражении (II, 123). При использовании метода наименьших квадратов неизвестные коэффициенты функции/(Лх,...,) выбираются так, чтобы сумма квадратов разностей еЛ = 6gk-[ь(А19...,Ег) оказалась минимальной:

2 е<=2 Р*< ~и{Ai* - £i)]2 = F(л -(пл27)

Задача имеет простое решение, если так называемые условные уравнения линейны, как это имеет место в нашем случае (см. II, 123):