Aiml + 2А2 т\лМ\я + А3 т\ Ml + ... + Е, т[ = bg[; Ах т2 + 2Л2 ml М2 + А3 т'2 М2 + ... + Е{т'2 = bg2;

ЛАml + 2А2 т* Ml + А3 т'МЦ +...+ £4 = или, для краткости, запишем:

А,а, + 2Л26А + A3ct + ... + Etlt = bg[; Ata2 + 2A2b2 + A3c2 + ... + Etl2 = 8;

(11,128)

Afih + 2A2bk + A3ck + ... + Etlk = I

(11,129)

где

ai = m

a2 = m2 ; a3 = m3

ah = m

(11,130)

bt = m\z Ml; b2 = ml Ml; b3 = ml Ml;...; 6ft = ml Ml; ct = m\ Ml; c2 = m2 Ml; c3 = mz Ml;...; ch = mk Mk*;

к-т\; l2 = m2; Z3 = тъ; ... ; lk = mk.

Требование минимума суммы квадратов отклонений Se2 приводит к системе линейных, так называемых нормальных уравнений, в которых по Гауссу введены обозначения [аа] вместо

2a? = ai+ а2 + аз+ - + а1> И]

2а*й* = аА + а22 + - + a>hbh и т. п. [аа] А, + [ab] А2 + [ас] А3 + ... + [at] £А = [a8g;] ; [ba]At + [66] Л2 + [be] А3 + ... + [6/] £t = [68] ;

[la]At + [lb]A2 + [lc]A3 + ... + [lt\Et = [Bgk] .

(11,131)

Нетрудно видеть, что для получения &-го нормального уравнения необходимо каждое условное уравнение умножить на величину, стоящую при k-м искомом коэффициенте, и все уравнения сложить.

Из системы линейных алгебраических уравнений (II, 131) определяем искомые коэффициенты Аъ Л2, Аъ...9Ег.

Аналогично и одновременно определяются коэффициенты ряда (II, 123), выражающего аберрацию 8G(i42, Л,...,£2).

Интерполяционная формула (II, 123) определяется для каждого угла поля зрения: у объективов с малым углом поля зре-

ния (около 20-30°) достаточно ее определить для одного значения угла поля зрения; у нормальных объективов с полем зрения 50-60° - для двух углов поля; у широкоугольных объективов 90-120° - для трех углов поля зрения.

Найденная система интерполяционных формул и построенные по ним фигуры рассеяния лучей дают полную аберрационную характеристику объектива. Не менее интересно глубже проанализировать физические свойства объектива, построив его физическую модель. Мы взяли слово физическую в кавычки, так как речь идет не о физическом изготовлении образца объектива, а предсказании его физических свойств. Достаточно полно эти свойства описываются формой поверхности световой волны, выходящей из объектива.

Уравнение волновой аберрации представлено рядом (II, 122), все коэффициенты которого теперь уже нам известны, так как они входят в выражения (II, 123). Весь описанный процесс расчета сравнительно просто программируется и выполняется с помощью ЭВМ.

В качестве примера приведем результаты расчета коэффициентов интерполяционных формул (II, 123) для выражений 8g и 8G и для волновой аберрации L (II, 122) для объектива Эра-7 с / =105 мм; 1 : 2,8; 2до = 11°. Этот объектив описан в главе VI; он предназначен для изготовления микроэлектронных схем и поэтому обладает предельно высоким качеством оптического изображения. В табл. II, 2 приведены значения коэффициентов интерполяционных выражений (II, 123) и (II, 122), определенные при разном числе лучей на зрачке: при 15 лучах, когда полузрачок объектива разделен на четыре равных сектора, а концентрические окружности имеют радиусы р\ = 0,5 р'ш; р'г = 0,77р'т и р'з = 0,85 р'т; при 21 луче, когда полузрачок разделен на шесть секторов при тех же радиусах концентрических окружностей.

Как видим, величины коэффициентов Аи Аъ ...,Ег (увеличенные в 103 раз) имеют почти одинаковые значения как для 15, так и для 21 луча, взятых на полузрачке объектива; при этом величины самих абер-

Рис. II. 23. Кривые равных волновых аберраций объектива Эра-7 с f -105 мм (а); кривые равных волновых аберраций объектива Марс-1> с /-500 мм (б)

раций fig и oG отличаются в третьей (и лишь иногда во второй) значащей цифре от соответствующего вычисленного точного значения.

Таблица 11,2

Численные значения коэффициентов Alt Л2, Е2 (увеличенные в 103 раз) интерполяционных формул, выражающих геометрические (bg и bG) и волновые (L) аберрации объективов Эра-7 и Марс-1

На рис. II, 23, а приведены кривые равных волновых аберраций L, определенные для объектива Эра-7 в плоскости Гаусса для угла поля w = 5°. Как видим, волновая аберрация фронта волны (для монохроматической спектральной линии ё) не превышает 0,025 в пределах всего зрачка. Как уже указывалось , в программу расчета на ЭВМ введена нормировка величин т' и М', а именно, счет производится со значениями =~и=-, где IF = макс {[mH; т' ; MHM H}, а т'н, т' н