где b может быть назван коэффициентом деформации. В поверхностях, имеющих профиль конических сечений:

Ь = -е2= +

где а и Ъ - полуоси кривой конического сечения; следовательно, если е = О, сечение представляет собой окружность; при 0<Х1 - сечение эллиптическое; при е = 1 - сечение параболическое; при е>\ - сечение гиперболическое. Конические сечения (с вещественным значением е) дают для коэффициента Ь только отрицательные значения и, следовательно, коническими сечениями нельзя заменить любую заданную кривую, имеющую ось симметрии, даже вблизи ее вершины.

Все написанные выше (§ 2) формулы аберраций сохраняют свой вид и в оптической системе, состоящей из асферических преломляющих поверхностей, имеющих ось симметрии. Изменяется лишь выражение коэффициентов аберраций; вместо формул (II, 35) соответственные коэффициенты будут иметь в переменных Ланге следующий вид:

(11,165)

(smU - 2л* Г* (rJ + ** -J

(A/ift)2 J

где по-прежнему P* = I --\ Д . Условия нормировки

переменных Ланге остаются те же: для формул (II, 39) - нормировка (II, 19); для формул (II, 45) - нормировка (II, 20).

Для бесконечно удаленной плоскости предметов справедливы те же формулы (II, 37), но выражения коэффициентов аберраций (II, 165) вычисляются при условии нормировки входящих в них переменных (II, 22).

В выражениях коэффициентов аберраций (II, 165) четвертая сумма Siv - единственная из сумм, не содержащая коэффициента деформации Ь. Кривизна изображения не зависит от формы преломляющих поверхностей, а лишь от радиусов кривизны этих поверхностей в их вершине.

При расчете оптической системы в области аберраций третьего порядка конструктивные элементы системы часто получаются в условных единицах, например при фокусном расстоянии системы, равном единице (f6 = 1); очевидно, коэффициенты уравнения (II, 161) асферической поверхности также получатся при этом фокусном расстоянии.* При переходе к некоторому другому значению фокусного расстояния (/) уравнение (II, 161) примет вид:

у2 + г2 =27fx-d+b)x* + -2-*s +-r*4+ + yb*K (Н.166)

где т - приведеннре значение радиуса кривизны в вершине кривой асферической поверхности при Г =1.

В общем случае, если асферическая поверхность задана уравнением (II, 161), расчет выполняется следующим образом. Прежде всего определяются координаты х и у точки^ пересечения падающего луча с меридиональным сечением поверхности (рис. II, 28), для чего решаются совместно два уравнения - уравнение кривой и луча:

y2 = F{x), # = (s - x)tgu;

из этих уравнений имеем:

(s.- xf tg2 и - F (х) = 0. (11,167)

Это уравнение обычно приходится решать способом постепенных приближений, определив в первом приближении координату х из решения квадратного уравнения:

(s - xf tg2 и - (2гх - а2х2) =0, (11,167)

-S о

Рис. II, 28. Преломление луча е* рез асферическую поверхность

Процесс итерации существенно сокращается, если воспользоваться следующей формулой, связывающей введение (или изменение величины) k-го коэффициента ak асферической поверхности (II, 161) с изменением координаты Да::

лс*8!п<р COS и дд

2у cos /

(11,167 )

После определения координат точки встречи (х\ у) вычисляется угол Ф нормали с оптической осью:

-tg т = -. (11,168)

Угол падения i луча на поверхность и дальнейший расчет хода луча выполняется по формулам:

1. i = u - ср; 3. u = u + i-i\

2. shn = --sinr, 4. s = x + у ctgu.

(11.169)

Переход к координатам второй поверхности происходи? по обычным формулам расчета луча через сферическую поверхность:

Sft+i = sk - dk; им = ик . (11,170)

Расчет хода луча существенно упрощается, когда меридиональные кривые поверхностей - конические сечения. Координаты у и х точки пересечения падающего луча и поверхности определяются из совместного решения уравнений:

y = (s - x) tgu;

y2 = 2rx - (l - е2)х2;

приходим к квадратному уравнению относительно х:

(sec2 и - е2) х2 - 2 (г + s tg2 и) х + s2 tg и = 0. (11,171)

Уравнение проще всего решается методом введения вспомогательного угла. Обозначим для краткости:

sec8 а - е2 = а4;

r + stg2u = a2;

stgu=*a3>

находим некоторый вспомогательный угол, удовлетворяющий условию:

а) если ах>0, пользуемся формулами:

sin а = , ; х = 2-Jr-sin2-; \а2\ ах 2

б) если а!<0, пользуемся формулами:

kl oi C0SP

Знак II указывает, что нужно брать абсолютное значение величины а2. Если sin а>1, то луч не пересекает поверхности.