Вычислив х, а затем у, находим угол ф по формуле:

дальнейшие вычисления производятся по формулам (II, 169) л (11,170).

Расчет несколько упрощается в случае параболической поверхности (е = 1); для коэффициента а± имеем: а± = tg2w; угол а и х определятся из формул:

sina = %tga, * = 2 Jlsin2 - ;

угол ф определится из формулы:

tg<p = -. (11,172)

г

Расчет положения фокусов бесконечно тонких сагиттальных и меридиональных пучков в системах с асферическими поверхностями производится по несколько видоизмененным формулам Юнга-Аббе. Расстояние f s фокуса сагиттального пучка преломленных лучей связано с расстоянием t8 до вершины пучка формулой:

п' п п' cos V - п cos I П1 17Q4

-;---j- =-, (11, 1 to)

ts h rs

где rs - длина нормали, равная отрезку МС8 (рис. II, 29). Напомним, что при сферической поверхности формула (II, 173) имеет тот же вид, но вместо rs берется радиус г сферической поверхности. Из рисунка

ясно, что rs = ; так как

tg cp i

sin <p =-------

окончательно имеем:

Для конических сечений, воспользовавшись (II, 172), находим:

rs = r /l-[(l-eVf-]- ( .174)

Расстояние tm фокуса меридионального пучка преломленных лучей следующим образом связано с расстоянием tm до вершины пучка:

rtCOS2* П COS2/ It COS V - Л COS I /тт - -;-.-- - = -, (11,175)

т

где rm - радиус кривизны меридионального сечения поверхности в точке М (см. рис. II, 29), равный отрезку МСт. Как известно из дифференциальной геометрии:

Н*)Т

d2y dx2

77 sin3 <p dx2

(П, 176)

Для конических сечений, воспользовавшись (II, 172) и приняв во

d2u г2

внимание, что = - -g , получим:

Рис. II, 29. К расчету астигматического пучка через асферическую поверхность

Рис. II, 30. Определение косой толщины

Заметим, что если главный луч рассчитан и, следовательно, вели-, чины у иф известны, вместо (II, 174) и (II, 176) удобнее воспользоваться формулами, пригодными для логарифмирования:

-4 - (IU77)

sin у

г2 sin3 <р

Применение формул Аббе требует еще расчета косой толщины dk> т. е. расстояния MkMM (см. рис. II, 30):

\ = (Ук - Ум) cosec иш. (II, 178)

Положение вершины астигматического (меридионального' или сагиттального) пучка относительно следующей (k + 1-й) поверхности определится из формулы:

th+i = tk-dk. (11,179)

Расчет системы в области аберраций третьего порядка является решением задачи в, первом приближении: в этой стадии расчета ряд (II, 161) обрывается коэффициентом а2. Между тем система имеет аберрации высших порядков и для более совершенного их исправления может оказаться целесообразным ввести асферическую поверхность высших порядков, содержащую высокие степени аргумента х.

Дифференциальный метод исследований. Наибольший теоретический и практический интерес представляет разработка общей методики,

позволяющей, не прибегая к подробным и весьма трудоемким расчетам хода лучей через асферические поверкности (теперь успешно выполняемым с помощью ЭВМ), уже в начальной стадии исследований решать следующие вопросы:

1. Какой из сферических поверхностей объектива рационально придать асферическую форму, исходя из анализа структуры пучков лучей как осевых, так и наклонных?

2. Как, исходя из анализа структуры пучков, определять необходимую форму несферической поверхности, не прибегая к непосредственным расчетам координат лучей, преломленных через эту асферическую поверхность?

3. Как оценивать, хотя бы и приближенно, влияние вводимой асферической ловерхности на остальные (не корригируемые) аберрации системы?

Не останавливаясь на подробном изложениии разработанного автором [3] общего дифференциального метода введения асферических поверхностей в целях одновременной коррекции нескольких аберраций, ограничимся здесь лишь изложением основной идеи метода.

Имея систему сферических или асферических поверхностей второго порядка, корригированную в области аберраций третьего порядка, мы тем самым имеем фиксированными первых два коэффициента: % и а2- ряда (I, 161). Обозначим через / ординату точки пересечения некоторой плоскости установки в пространстве изображений лучом, вышедшим из объектива.

Определяя одним из излагаемых ниже способов частные Ьроизвод-

ные от координат преломленного луча по параметрам а3, а4,...,#л

ряда (II, 161) и выражая затем вариации dl1 ординаты V в пространстве изображений через вариации daz% da,... сферической поверхности, устанавливаем прямую зависимость между изменениями ординаты а следовательно, и аберрации луча (поскольку ход луча в параксиальной области остается неизменным) и изменениями коэффициентов ряда (II, 161):

*8V . dl , dl . а/з =-аа8; ац = -- аа4; . ; &1ь =-dak.

Определив частные производные для нескольких лучей пучка,

подлежащих коррекции, и анализируя получецные величины производных, имеем возможность решать обратную задачу: задавая желательные изменения dl*. для различных лучей в пространстве изображений, вычислять соответствующие величины коэффициентов ak (k = = 3, 4, 5) уравнения (II, 161).

Этот метод дает возможность непосредстенно получать ответы на те три основных вопроса, которые были нами сформулированы; причем выяснение их оказывается возможным в результате проведения сравнительно небольших исследований.

Дифференциальный метод исследований оказывается сравнительно мало трудоемким благодаря применению доказанной автором следую-