щей теоремы: если известны две частные производные от аберраций

* дУ дУ *

Луча в пространстве изображении и то, не прибегая к каким-либо специальным расчетам лучей, можно определить некоторую

частную производную из выражения:

dU = я- р хр т Jl + р-т р (П( 18()

дар п - т v дат п - т и дап

где ddm, dah9 dap - вариации m-го, ai-го, р-го коэффициента ряда (II, 161); х0 -абсцисса точки пересечения луча с поверхностью.

Если варьируют,что практически наиболее интересно, какие-либо три соседние коэффициента ряда (II, 161), например с индексами k-1, ки k+l, то, положив т= k-1, n=k, *р =k+h из (II, 180) находим:

JS №181)

dak+1 dak dak

Аналитическая формулировка дифференциального метода. Пусть объектив, состоящий из сферических или других поверхностей второго порядка, исследуется для выяснения рациональности введения одной или нескольких асферических поверхностей более высоких порядков.

Пусть вводимая асферическая поверхность предназначается для изменения координат выхода определенных лучей в пространстве изображений, например лучей № 1, 2, 3 и т. д., причем эти лучи могут принадлежать различным пучкам разных углов наклона.

Обозначим через dl\, dl2, dl3,.... и т. д. изменения координат Г2, Г3,... лучей № 1,2, 3,.... в пространстве изображений. Обозначим через D(j\ Dil3 и т* Д- частные производные от координаты 1\ по коэффициентам аъ а2, а3, относящиеся к лучу № 1; через D(2), D(l\ D{f... - то же для луча № 2 и т. д.

Приходим к системе линейных уравнений:

dl\ = Dda, + D{2l)dat + D{zl)da3 + ... dl2 = D{2)dat + Dda2 + Df da3 + ...

dlN = D\N)dat + D{2N)da2 + D{3N)da3 + .

(II, 182)

Имея в виду, что изменения dl\, dl2> d/3,... обычно должны быть получены не с высокой точностью, а лишь приближенно, следует считать не всегда рациональным сведение задачи определения вариаций dalt da2l da3,... к решению системы линейных уравнений (II, 182). Целесообразнее, исходя из оценки величин частных производных

D{\\ D(2> D{1\--- использовать лишь те из коэффициентов ряда (II, 161), которые являются наиболее активными параметрами для решения задачи коррекции в каждом конкретном случае, уточняя при этом выбор величин вариаций коэффициентов dau da2, da3t... при которых с достаточным приближением достигаются требуемые изменения координат dlx, dl2\ dl3,... в системе уравнений (II, I82f.

В случае отсутствия решения при введении асферичности у данной поверхности объектива исследование продолжается для выяснения целесообразности асферизации какой-либо другой из поверхностей объектива. Сведения о том, какую из поверхностей целесообразно в первую очередь исследовать на асферичность, мы получаем уже в стадии предварительных исследований данной оптической схемы объектива. Это следует из анализа составляющих коэффициентов аберраций третьего порядка на отдельных поверхностях объектива, из анализа хода лучей различных пучков через объектив данного типа, из оценки величин углов падения и преломления лучей на поверхностях системы.

Если оказывается необходимым введение в систему более одной асферической поверхности, вместо системы уравнений (II, 182) приходим к уравнениям вида:

dlDfUa. + db...; . (IU83)

diN -29TA fc+2*r db +---

где через D, E и т. д. с соответствующими индексами обозначены частные производные от координат лучей в пространстве изображения, определенные соответственно по коэффициентам а и Ь и т. д. рядов:

у2 + z2 = atx + а2х2 + агх3 + y* + * = bix + b1j* + b9x* +

(11,184)

В предлагаемом методе сравнительно наибольшей вычислительной работы требует определение величины двух отправных частных, производных от координат луча в пространстве изображений по каким-либо двум коэффициентам ряда (II, 161), поскольку частные производные по остальным коэффициентам ряда затем уже вычисляются по рекуррентной формуле (II, 181):

DM = 2x0Dh-4Dh i9

где через Dk lt Dk и Dk+1 обозначены соответствующие частные производные, определенные по коэффициентам k-1-го, &-го и k+ 1-го членам ряда (II, 161).

Определение отправных частных производных. Остановимся здесь лишь на одном способе определения отправных частных производных Dk x и Dk\ имеются различные способы их определения - применительно к разным условиям решаемой задачи [3].

Наиболее непосредственным, но и наиболее трудоемким является способ расчета хода лучей; при этом определяются вариации А V- ко-

ординат Г при изменении коэффициентов дал и приближённо принимается, что.

дР Д/ dak ДаЛ

координаты точек пересечения лучей о асферической поверхностью находятся способом последовательных приближений; для ускорения этого процесса рекомендуется при решении уравнения (II, 167) воспользоваться формулой (II, 167 ):

Ax = sJnjcosu

2у cos / А

где А а: - изменение абсциссы х точки встречи луча и асферической поверхности, найденной приближенно из (II, 167); отсюда далее находим второе приближение, Не при решении уравнения (II, 167):

~х = х + А*.

Однако более экономичным является способ использования данных обычной таблицы влияния изменения параметров сферического объектива на его аберрации.

Пуеть для исследуемого объектива, состоящего из сферических поверхностей, составлена таблица влияния изменения его конструктивных элементов на аберрации. Обозначим через ansk k-й коэффициент ряда (II, 161), относящегося к /1-й исследуемой поверхности объектива. Оказалось возможным непосредственно определить част-- dl

ную производную 2-; если известны величины некоторых двух частных производных от Г по каким-либо двум параметрам объектива; в частности, такими параметрами, по-видимому, удобнее всего избрать радиус гп исследуемрй поверхности и расстояние dn между вершинами л-й и /i+1-й поверхностей. Соответствующая зависимость имеет вид:

дР = (k + E) xk-i дР (*-1) й sin У* sin ( ип - ип) дР

dan%k 2(1 +£) п дгп 2(\+E)yrlzoslnsmun ddn

где

(1.185) 2Уп cos ln

Таким образом, пользуясь таблицей влияния изменения параметров Дгя nAdn на изменение координаты луча, и воспользовавшись приближенными равенствами

дР д/ дР Д/ дгп Дгя dd ДсГя

из формулы (II, 185) определяется величина z-. а затем с помощью