отсюда:

/ sin/ /т Л1Ч

s =r - r -т-г. (1,21)

sin и'

Последовательное применение формул (I, 17)-(I, 21) позволяет при заданных значениях п, п\ г и начальных координатах луча s и и вычислить координаты преломленного луча s и и'.

Как следует из (I, 21), положение изображения точки S на оптической оси (см. рис. I, 15), определяемое расстоянием sf является функцией синусов углов и и и'. Для того чтобы точка S являлась идеальным изображением точки S, необходимо, чтобы отрезок s оставался постоянным для любого значения угла и.

Такое условие, в частности, будет выполнено в случае, представляющем особый практический интерес, а именно: при и = -V из формулы (I, 19) и! = -i; отсюда приходим к соотношению: ✓

sin и sin V п .

= - = const.

sin и' sin i

Из формул (I, 17)-(I, 20) последовательно получим:

s = --- г; s = --- г. (1,22)

При указанных расстояниях s и s получаем оптически сопряженную пару так называемых апланатических точек S и S: точка S является идеальным (безаберрационным) изображением точки S. Для апланати-ческой пары точек сохраняется гомоцентричность пучка лучей до и после его преломления.

Из формул (I, 22) следует, что так как всегда п> 0 и п'> 0 , то отрезки s и s будут одного знака. Это значит, что если предметная точка S действительная, то ее изображение S - мнимое, и наоборот.

Заметим, что условие Jjjpp = const будет выполнено также еще в

двух очевидных случаях, а именно, как следует из (I, 21), при s = 0 и s = 0; при s = s = г, т. е. когда предмет и его изображение расположены в центре кривизны поверхности.

Для параксиальных лучей формулы (I, 17)-(I, 20) принимают вид:

(1,23)

Г - S

а; I =

г - s = V г ~ а'

В этих формулах мы ввели обозначения параксиальных углов буквами а и а' соответственно вместо обозначений углов конечной величины и и и!\

Из соотношений (I, 23) нетрудно получить известный в оптике инвариант Аббе:

или

(1,24)

(I, 240

Следовательно, в параксиальной области положение изображения однозначно зависит только от положения s предмета для всех лучей пучка, вышедших из точки предмета.

Формула для сферического зеркала. Из формулы (1,24) можно получить непосредственно зависимость между отрезками s и s, определяющими положение точки предмета и ее изображения для одной отражающей поверхности, т. е. для зеркала. Воспользовавшись условием (I, 2 ) и положив п' = -п9

I, 16. К выводу инварианта Ла-гранжа - Гельмгольца

находим:

4- + =

(1,240

Для бесконечно удаленной точки предмета (s=-со) ее изображение получается в фокусе зеркала. Фокус расположен на расстоянии s = = / от вершины зеркала; это расстояние - так называемое фокусное

расстояние / зеркала-определится из (1,24 ) при s = -оо: / =.-

формула (I, 24 ) может быть теперь представлена в виде:

J- +J---L.

s s Г

(1,24 )

Изображение элементарного отрезка преломляющей сферической поверхностью. Рассмотрим изображение dl, образуемое преломляющей сферической поверхностью (рис. 1,16) малого отрезка dl, расположенного перпендикулярно оптической оси в точке S. Если отрезки dl или dl направлены вверх от оптической оси, то они считаются положительными, а если вниз, - отрицательными. Отношение величины изображения dl к величине предмета dl называется линейным, или поперечным, увеличением р:

тг dl

(1,25)

При р > 0 изображение называется прямым: при 5 <0 - обратным; при 1р|<1-уменьшенным; при р|> 1 - увеличенным.

Проведем из точки А луч АС через центр С поверхности, который пройдет через поверхность не преломляясь. Рассматривая подобные треугольники, образованные этим лучом, получим:

В - - - s~r dl s - г

(1,26)

Воспользовавшись (I, 24) и обратив внимание, что в параксиальной области (см. рис. I, 16)

h = sa = s*, (1,27)

/- 2

Рис. I, 17. Последовательные изображения, образуемые системой преломляющих поверхностей

из (I, 26) приходим к инварианту Лагранжа

n<xdl = n<xdl.

Гельмгольца:

(1,28)

Из зависимостей (I, 24) и (I, 28) следует, что каждому положению точки S предмета соответствует определенное положение ее изображения S и каждому элементарному отрезку dl, перпендикулярному к оптической оси, соответствует изображение в виде отрезка dl у также перпендикулярного к оси. Отсюда, очевидно, что элемент плоскости, перпендикулярный к оптической оси, изображается также элементом плоскости, перпендикулярным к той же оси. Такие пары точек S и S, отрезков dl и dl и элементов плоскости dS и dS называются оптически сопряженными.

Параксиальные изображения, образуемые системой преломляющих поверхностей. Рассмотрим образование изображений в параксиальной области оптической системой, состоящей из преломляющих поверхностей - сферических или асферических: в параксиальной области форма любой поверхности определяется ее кривизной в вершине.

Пусть система состоит из ряда поверхностей 7, 2, р (рис. I, 17). Изображение предшествующей точки предмета является в свою очередь предметом для последующей поверхности:

Si = S2, S2 = S3,..., Sp i = Sp;

dl\ = dl2y dl2 = dl3,..., dip-1 = dlp.