8j == (П-

Произведя дифференцирование выражения находим окончательное выражение е4;

в квадратных скобках,

(11,366)

Этим выражением воспользуемся ниже.

14. Влияние градиента показателя преломления на изменение траектории луча. Рассмотрим элемент объема оптически неоднородной среды, показатель преломления которой изменяется от точки к точке. Предположим, что это изменение показателя преломления происходит по линейному закону. Если показатель преломления мало и плавно изменяется, то величину градиента можно считать постоянной даже в пределах больших объемов среды, если градиент показателя направлен перпендикулярно оптической оси, а лучи света распространяются под малыми углами к оси.

Пусть A BCD -сечение малого объема меридиональной плоскостью (рис. 11,40); GG -градиент показателя, который считаем постоянным; I - угол падающего луча LM с направлением градиента.

Как было показано выше (глава I, формула I, 5), применительно к рассматриваемому случаю, положив ср == 90-/, получим:

-L = -*-sini, R п

(11,367)

где R - радиус кривизны траектории луча; g = - градиент показателя преломления в направлении, параллельном оси А.

Рис. II 39. Поворот фронта световой волны при неравномерном нагревании стекла

Рис. II, 40. Искривление траектории луча в среде с постоянным градиентом показателя преломления

Из полученной там же общей формулы (1,5 ) находим (в принятых здесь обозначениях) угол отклонения луча Дер = б, прошедшего в стекле путь s = 1(h):

ь== 1(h) 1(h) dn R n dh

при этом принято, чтоф = 90-i = 0, т. е. что лучи распространяются приблизительно нормально к направлению градиента показателя.

При переходе от стекла в воздух угол отклонения б увеличивается в п раз и угол отклонения е2, вызываемый непостоянством показателя преломления, определится формулой:

1 /1 \ dn 1 it\ dn dt Ч = I (h) -j- = / (h) -- -- .

dh dt dh

Приняв линейный закон изменения температуры п = п0 + rt; -J = P*

получим:

*2 = /(Л)Р*4-. (IL368)

Очевидно, общее отклонение луча е равно сумме: гх +е2. Заметим, что если градиент температуры направлен кверху, а коэффициенты а* и р* положительны, то оба отклонения имеют один и тот же знак: луч отклоняется кверху, точнее, в сторону возрастающих показателей преломления, такое отклонение луча (против часовой стрелки) следует считать отрицательным; получим:

е = е4 + е.

Упростим запись этого выражения, положив по-прежнему (см. главу I) = Y, и вместо 1(h) и t(h) - соответственно / и /:

е = - (л- 1). / т-g- tdh -/Р*Т

или

e = -/7[(n-l)a* + p*]+(n-l)a*-£i- tdh. (11,369)

о

15. Изменение направления лучей простейшими оптически неоднородными деталями. Рассмотрим оптическую деталь, ограниченную плоскими поверхностями, - параллельную пластинку или стеклянный клин с малым преломляющим углом, расположенные так, чтобы их грани образовывали небольшие углы с направлением градиента.

В этом случае = 0 и формула (II, 369) принимает вид: /

е = - / т [(л - 1) а* + £*] . (11,370)

Если оптическая деталь изготовлена из материала, для которого (п-1)а* + (J* = 0, отклонение е луча равно нулю и деталь можно назвать нерасстраивающейся (при этом не учитывается влияние температурных напряжений). Указанным свойством, например, обладает кристалл флюорита.

В случае плоскопараллельной пластинки путь луча, образующего малые углы падения /, равен толщине пластинки / и отклонение луча пропорционально градиенту; если последний постоянен, отклонение также постоянно и плоскопараллельная пластинка действует как клин.

Например, пластинка из стекла К8 (nD = 1,5163; а* = 7,2-10 в;

0* = 2,8-Ю 6) толщиной 10 см при градиенте температуры у = 1 -рад

отклонит луч на угол

е = - 10 [0,516 7,2 + 2,8] Ю 6 = - 65 . 10 в рад, или - 13 .

Если оптическая деталь является клином, отклонение луча растет пропорционально толщине. Возникает расфокусировка пучка: если пучок был параллельным, то становится сходящимся, когда градиент направлен кверху. Например, пусть клин диаметром 200 мм изготовлен из того же стекла К8. Толщина клина у верхнего края равна нулю,

у нижнего 50 мм; градиент по-прежнему 1 Пользуясь вычислениями предыдущего примера, получим: отклонение луча на верхнем крае клина равно нулю, на нижнем - 6,5 . Такая разность отклонений при диаметре клина 200 мм соответствует радиусу кривизны R поверхности выходящей волны:

п 200 мм с

R =-= 6 км,

6,5 0,5 10 в

16. Больший практический интерес представляет случай оптической линзы. Предположим, что при нагревании температура на оси линзы не меняется. Зависимость толщины / от высоты h имеет вид:

-ь-тёаг- (,1371)

где/о - толщина линзы в центре;/ - ее фокусное расстояние. Пред-

dt dh

положим, что градиент у= --постоянен. Согласно формуле (11,369),

получим:

= - о [(Л - 1) ** + Р*17 + 2(я-1)/ (П'372>

Первый член выражения постоянен; второй, зависящий от р*, -пропорционален Л2. Следовательно, отклонение луча е возрастает пропор-