ГЛАВА III

КАЧЕСТВО ОПТИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ОБЪЕКТИВОВ

Основным элементом при образовании изображения любогр объекта является изображение точки. Однако оптическая система никогда не изображает точку в виде точки. С одной стороны, этому препятствуют аберрации оптической системы, с другой, - волновая природа света. Действие этих факторов приводит к тому, что изображение точки оказывается нерезким, расплывчатым; мелкая структура объектов передается неправильно: изображения двух очень близко расположенных точек сливаются в одно пятно; изображения решеток расплываются в серый фон и т. п. По этим сведениям получают грубое качественное представление об изобразительных свойствах объектива.

Чем меньше аберрации объектива, тем выше качество образуемого им изображения. Однако это очевидное соответствие нуждается в проведении более глубокого анализа, устанавливающего связь между некоторыми количественными оценками изображения и его психофизиологическим восприятием. На протяжении многих десятилетий основным критерием качества оптического изображения являлась разрешающая сила объектива.

§ 1. РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА СОВЕРШЕННОГО ОБЪЕКТИВА

Сложный объект представляет совокупность бесконечно малых элементов объема или поверхности, т. е. в пределе точек. Знание структуры изображения точки, даваемого объективом, позволяет построить изображение любого более сложного оптического объекта.

1. Изображение точки совершенным объективом. Теория дифракции показывает, что даже при совершенном (безаберрационном) объективе изображение точки имеет вид некоторого светлого пятна, обладающего определенными габаритами и характерным распределением энергии в нем: пятно имеет центральный максимум освещенности, постепенно снижающейся до нуля, образуя вокруг центрального максимума темное кольцо; концентрично к последнему располагается светлое кольцо, максимум освещенности в котором не превышает нескольких сотых долей от величины освещенности центрального максимума, и т. д.

Применение классического принципа Гюйгенса - Френеля к анализу явления формирования изображения точки показывает, что дифракция зависит от величины волновых аберраций, определяющих разности хода интерферирующих лучей, и от формы отверстия, ограничивающего фронт волны, вышедшей из объектива.

Предположим, что между источником колебаний (источником света) Q и точкой Q пространства помещается плоский экран М, в котором имеется отверстие S произвольной формы, малое по сравнению с расстоянием s от источника света Q и с расстоянием s от точки Q. Напишем выражение для светового возмущения U в некоторой произвольной точке Q пространства (рис. Ill, 1):

А

2к

COS (п, S) - COS (ft, s)

dS, (111,1)

где (n9 s) и (n9 s) - углы нормали к плоскости отверстия с направлениями к источнику света Q и рассматриваемой точке Q; Т - период колебаний; X - длина волны; s us -расстояния соответственно от источника света Q до некоторой точки отверстия Р и от этой точки до рассматриваемой произвольной точки Q; t - время, в течение которого свет прошел расстояние s от источника Q до точки Р; А - коэффициент, зависящий только от свойств источника света: сила света источника в данном направлении пропорциональна квадрату этого коэффициента А\ Если нормаль к плоскости отверстия составляет малые углы с направлениями на источник света Q и точку Q, получим:

Рис. Ill, 1. Дифракция от отверстия

(111,2)

где А' = -. Это выражение можно представить в следующем виде: U0 = sin 2ic -L J cos 2* dS - cos 2* y- j sin 2ic -i±£- dS J .

Световое возмущение U0 можно рассматривать как результат наложения двух волн, амплитуды которых пропорциональны:

С0 = jcos2 --dS; S0 = jsin2 -bfldS (Щ,3)

с разностью фаз Таким образом, освещенность в точке Q будет пропорциональна сумме квадратов этих амплитуд:

(Ш,4)

Иногда удобнее принять в качестве источника световых колебаний поверхность световой волны, проходящей через отверстие S (см. рис. Ill, 1). При этом результирующее колебание в точке Q будет вызвано элементарными колебаниями, приходящими в точку Q от бесконечно большого числа бесконечно малых элементов dS поверхности волны S, расположенных на расстояниях s от точки Q; вместо (III, 3) получим:

С0 = j cos 2тс dS; S0 = J sin 2* dS.

(1115)

Пусть S (рис. Ill, 2) - сферическая волновая поверхность после выхода из оптической системы с центром в точке Q и радиусом г'. Определим освещенность точки С, находящейся на расстоянии от от оси волновой поверхности и на расстоянии А от гауссовой плоскости изображения 0\ Полярные координаты элементаМ' равныр ив, где р' - расстояние элемента волны до оси, а в' - угол между радиусом-вектором точки М! и меридиональной плоскостью.

Разность хода между лучами М'С и ТС:

Рис. III, 2. Дифракция от сферической

М'С - ТС = V (г9 + А - а2) + (р' cos 9 - of + pe sin2 9 - ~V(R + A)* + o\

где а = ТК - стрелка, определяемая из уравнения а(2г' -а) =* = р'2. Умножим и разделим разность радикалов на их сумму:

WC ТС - ~~2(гЧ A)g bp/ -*Ф'в *+ + в

W7? + т7е

Это выражение можно упростить, так как величины от и А весьма малы по сравнению с г'; сумму в знаменателе можно заменить через 2г'; в числителе, пренебрегая а2, получаем:

М'С -ТС =--

cos 9 =

= -%-и'*- °и' cos9. 2

(III .6)

* р'

где а = -

Напишем интегралы (см. рис. III, 2):

(III, 5), приняв С0 = cos-у- {ТС - и*1 -<ш' cos 9j dS;

что М'С = s