S0 = j sin ( ГС - А и'* - ей sin 9 j dS.

2tc7 C

Так как присутствие постоянной -- под знаком sin или cos не влияет на величину С02 + S02, можно ее отбросить:

С0, S0 = cos, sin -у- --- и' - ои* cos6j dS. (111,7)

Предположим сначала, что дефокусировка изображения отсутствует (Д = 0), т. е. что точка С находится в гауссовой плоскости установки; тогда:

С0, S0 = cos, sin -у- (ад cos 6) dS; (111,8)

знак минус при аргументе sin и cos отброшен, так как он не влияет на сумму (III, 4).

Как увидим, в дальнейшем, на освещенность изображения Е' влияет форма контура, ограничивающего волновую поверхность S. Рассмотрим здесь практически наиболее важный случай, когда поверхность S ограничена окружностью радиуса pt, центр которой расположен на оптической оси. Приняв, что

dS = pdpd6, (111,8)

pi el2*

С0, S0 = J j cos, siny-оя cos 9J d6 p dp. (II1,80

Вследствие симметрии волны относительно меридиональной плоскости интеграл S0 = 0, так как каждому положительному элементу интегрирования соответствует элемент с тем же значением, но с отрицательным знаком. Интеграл С0 можно записать в виде:

С0= j j cosa--cosejpdpde

о

= jpdp j cos (сер'cos 6) d6, (111,9)

Л 2ica

где a =

Интегралы вида f cos(apcos0)d9 хорошо исследованы и в целях

удобства практического применения они табулированы. Следующая функция от z = ар, обозначаемая символом I0(z), называется функцией Бесселя нулевого порядка:

1 2*

. /0(z)=-i- f cos(zcose)d9. (111,10)

о

Эта функция может быть представлена следующим рядом:

При больших значениях z можно применять для вычисления I0(z) следующую приближенную формулу:

cos (г-- - j

/0 (2) = -\ Ц (111,10 )

Рассмотрим еще одну функцию, которая понадобится ниже, - функцию Бесселя первого порядка Ii(z), определяемую выражением:

Л (z) = -A f cos (2 sin е' - е') d9 (НМ1)

2я J 0

Эта функция разлагается в следующий ряд:

22 . 1 - 2 24 - 1 2 - 2 . 3

2е-1-2.3-2-3-4

а при больших значениях z:

sin (г--?-)

+..., (111,11)

Mz)=-v 7 . (111,11 )

Функции Бесселя /0(ар) и Л(ар) связаны соотношением:

о а

Таким образом, согласно определению функции /0(ар) имеем:

С0 = 2* j /0( p)pdp- (ПЫЗ)

и

Приняв зо внимание (III, 12), находим:

с0 = 2* А #4 (аР;) =2</l(a,pl) . (ИЫЗО

ар,

Введенную выше переменную г = ар = 2я удобно ввести в

формулы дифракции; ее выражают в так называемых оптических единицах.

Для освещенности Еа в точке С (см. рис. III, 2) находим (см. III, 4):

£о = Л -£i7r-- (111.14)

Освещенность £ 0 в центре дифракционного пятна получим, положив a = 0, г = 0 и обратив внимание, что при этом = -L:

Е'° = А т£г' (I1U4,)

Относительная освещенность £</ в точке изображения на расстоянии а от точки геометрического изображения (центрального максимума), расположенной на оптической оси, выразится формулой:

= (Ш,15)

Для бесконечно удаленной точки-предмета можно принять

так как в объективе условие синусов выполнено; / - фокусное расстояние объектива; D - диаметр его входного зрачка; и' - апертур-ный угол в пространстве изображений. Величина 24 выразится формулой:

*1=--. (111,16)

Для данного объектива и данной длины волны величина z пропорциональна расстоянию а.

Воспользовавшись таблицами бесселевых функций, можно убедиться, что в дифракционном пятне освещенности £</ обращаются в нуль при следующих значениях аргумента гА: 3,83; 7,02; 10,17; 13,32; 16,47, т. е. эти значения аргумента Zt определяют положения соответственно 1-го, 2-го, 3-го и т. д. минимумов освещенности.