Максимумы освещенности Е' имеют место при следующих значениях аргумента г4: 5,13; 8,42; 11,62; 14,80; 17,96; этим значениям z4 соответствуют следующие величины максимумов в %: 1,75; 0,416; 0,160; 0,078; 0,044, т. е. яркость первого светлого дифракционного кольца составляет меньше 2% от величины яркости центрального максимума.

Таким образом, изображение точки, даваемое идеальным объективом в монохроматическом свете, имеет вид светлого пятна диаметром 2 х 3,83 оптических единиц, окруженного концентрическими чередующимися темными и светлыми кольцами убывающей яркости. Это центральное светлое пятно называется кружком Эри, впервые исследовавшего это явление в 1834 году.

Распределение энергии в этих кольцах пропорционально величине

dF = 2% zt dzt = 8* -5ifl! dzi9

где dF - энергия, проходящая через бесконечно тонкое кольцо шириной dzi и радиусом гь центр которого совпадает с центром дифракционного пятна.

Энергия F, проходящая через кольцо конечной ширины, у которого внутренний радиус равен zu а внешний z2, выражается формулой:

Г =8*1-. (Ш,17)

В теории бесселевых функций доказывается следующая интегральная зависимость:

2 J dz = 1 - [ /* (2l) - l\ (2l)]. (111,18)

Применительно к выражению (III, 17) получим:

F* = 4*[/* (z4) + I\ (2l) - I20 (z,) - 1\ (2Д;

количество энергии здесь выражено в произвольных единицах. Введем коэффициент пропорциональности /л, при котором полная энергия, распределенная по всему дифракционному пятну, равна единице:

F = 4кт [1\ (0) + /* (0) - /* (со) -1\ (со)] = 1;

при этом величины z взяты от 0 до оо, суммирование выражения в скобках производится согласно формулам (III, 10), (III, 10 ), (III,

1 Г) и (III, 11 ). Отсюда, очевидно, коэффициент т = и энергия F в кольцах определится из выражения:

F = /о + 7? - 7о W) - fe). (И1,19)

Из формулы находим, что в центральном дифракционном максимуме сосредоточено 83,8% всей энергии; в первом светлом кольце - 7,2%

всей энергии; во втором кольце - 2,8%; в третьем кольце - 1,5%; во всех остальных светлых кольцах сосредоточено лишь 4,7% всей энергии. В заключение заметим, что согласно формуле (III, 14) освещенность Eq в центре дифракционного кружка пропорциональна 4-й степени радиуса pt выходного зрачка; из формулы (III, 16) следует:

= (HL20)

1с и

т. е. диаметры колец тем меньше, чем больше диаметр D входного зрачка объектива при неизменном его фокусном расстоянии. Величина а зависит от длины волны X, а следовательно, максимумы освещенности для лучей с различными длинами волн наступают при различных расстояниях а от оптической оси: диаметры колец в красном свете больше, чем в синем; дифракционная картина изображения точки в белом свете представляется в виде белого пятна с красной каймой и внутренними цветными кольцами.

2. Разрешающая сила совершенного объектива в случае двух светящихся точек. Для оценки качества изображения, образуемого объективом, часто рассматривают воспроизведение изображения простейшего объекта, состоящего из двух одинаковых светящихся точек, расположенных на небольшом расстоянии друг от друга. Эти точки сближают до тех пор, пока их изображения объективом на данном приемнике (например, фотослое) перестают различать раздельно. Наименьшее расстояние а0, начиная с которого изображения двух точек сливаются, называется наименьшим разрешаемым расстоянием или линейным пределом разрешения. Часто в качестве меры так называемой разрешающей силы объектива принимают величину N0, обратную а0:

N0 = -L-i, (111,21)

определяющую число изображений простейших элементов (точек, щелей, полос и т. п.), различаемых раздельно на отрезке изображения единичной длины, например на 1 мм.

Дифракционная теория изображения позволяет теоретически определить наименьшее разрешаемое расстояние, если известно, при каких распределениях освещенности приемник (глаз, фотослой) воспринимает изображения раздельно. В частности, еще в 1879 году Рэлей принял, что два дифракционных пятна, соответствующие изображениям двух точек, разрешаются глазом, если центр одного пятна совпадает с серединой первого темного дифракционного кольца второго пятна. Если точки предмета самосветящиеся и излучают некогерентные (не могущие интерферировать) лучи, распределение освещенности в картине изображения двух одинаковых точек получается простым сложением освещенностей изображений, полученных от каждой точки в отдельности.

Принятое выше, допущение Рэлея соответствует расстоянию а0 между центрами пятен, равному Zi = 3,83 оптических единицы; в

этом случае максимум одного изображения совпадает с минимумом другого изображения (рис. III, 3). Отношение £ мин : £МакС составляет 74 %, т. е. разность освещенностей в двух рядом расположенных точках равна 26%. Такое допущение Рэлея до некоторой степени является произвольным и условным: фактически глаз уже различает два изображения, если отношение £ макс: £мин не менее 95-97%, что соответствует величине zi9 равной 3,25, т. е. на 20% отличающейся от принятой Рэлеем.

Если же принять zt = 3,83 и положить в формуле (III, 20), что а = ст0 линейному пределу разрешения и % = 556 нм, получим:

1,22Х

1475 е

ИЛИ

N0 =

о

= 1475е мм1,

(111,22)

(111,22)

Рис. III. 3. Распределение освещенности в изображении двух самосветящихся точек

где е = -j--относительное отверстие объектива. Формула получена

для точки изображения, расположенной на оптической оси. Нетрудно сообразить, что линейный предел разрешения при изображении двух точек, расположенных вне оптической оси - в точке гауссовой плоскости, определяемой главным лучом, образующим угол w с оптической осью, определится:

cos3 w

cos w

где am и а8 - линейные пределы разрешения соответственно в меридиональном и сагиттальном направлениях. Отсюда находим:

cos3 до

= N0 cos до

(111,23)

Таким образом, разрешающая сила идеального объектива имеет наибольшую величину NQ в центре поля зрения. В точках вне центра поля разрешающая сила в меридиональном направлении в cosW раз меньше, чем в направлении сагиттальном. Например, у идеального объектива с углом поля в пространстве изображений 2до = 60° разрешающая сила на краю поля в сагиттальном направлении на 14%, а в меридиональном направлении на 35% меньше, чем в центре поля.

У реальных объективов вследствие наличия аберраций эти соотношения могут быть иными, но разрешающая сила в центре поля всегда наибольшая.

3. Влияние дефокусировки на дифракционную картину изображения точки. Если за плоскость установки принять не гауссову плоскость изображения, а какую-то иную, смещенную относительно гауссовой