Из того же рисунка следует:

9 1 г

П\ = /г2, П2 = /г3,..., Aip-1 = пр; >t it

а1 - а2> а2 = 3, ... ар-1 =

Применяя инвариант (I, 28) к каждой из преломляющих поверхностей, получим:

ndlt = n2a2dl2 = = tip oLpdlp. (1,29)

Эта формула позволяет определить линейное увеличение всей системы:

p = = -V; (lt30)

однако для этого необходимо рассчитать параксиальный угол по выходе луча из системы.

Займемся определением угла а'Р> а также расстояния sр (см. рис. I, 17) изображения от последней поверхности оптической системы.

Воспользовавшись формулами (I, 24) и (I, 27), можно получить следующее выражение для преломления луча через любую, например Л-ю, поверхность:

- пкЧ = hk ( Ч~Пк) 0.31)

Из рис. I, 17 следует:

hh+i = hk-dhaM. (1,32)

Полученные формулы (I, 31) и (I, 32) являются формулами рекуррентными: применяя последовательно каждую из этих формул к каждой из преломляющих поверхностей, мы, зная входные координаты луча и hx = Sxal, найдем все значения углов и высот:

а4 и А|, а2 и А2,..., ар и hp.

В заключение расчета определяется положение изображения sp9 линейное увеличение р и величина изображения dVv\

sp = -г- р = ; d/p = pd/4. (1,33)

Заметим при этом, что параксиальный угол ai может выражаться в произвольных единицах; при этом высота hx = aA также выразится в условных единицах и только отрезки s1... sp получатся в реальных выбранных единицах длины. Обычно, если точка предмета S1 (см. рис. I, 17) находится на конечном расстоянии, то принимают ai = -1 (или задают угол равным любой другой величине) и hx = ал. Если предметная точка бесконечно удалена, принимают ai = 0 и hx =1 (или

задают hx равным любой другой величине, например, как увидим ниже, фокусному расстоянию / системы).

Определение радиусов кривизны преломляющих поверхностей при заданном ходе параксиального луча. Иногда на практике приходится решать обратную задачу: задан ход параксиального луча через систему преломляющих поверхностей и необходимо определить величину радиусов кривизны поверхностей, обеспечивающих заданный ход луча.

Итак, заданы следующие параметры (см. рис. I, 17):

ht h2,..., hp.

При этом, конечно, соблюдается зависимость (I, 32):

Afe+i = hh - dhak+t Из (I, 31) получаем формулу, решающую данную задачу:

Ч - пь .

- ---

nk ak пьаь

или в более сжатой записи:

/* = Х^-А*. (1,34)

§ 2. ИДЕАЛЬНАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Оптические системы, даже специально рассчитанные, неизбежно дают изображение предмета в большей или меньшей степени искаженным, а отдельные детали его - размытыми. В зависимости от строгости требований, предъявляемых к качеству изображения, что в свою очередь определяется назначением оптического прибора, их оптические конструкции обладают различной сложностью. На погрешностях изображений в реальных оптических системах остановимся ниже (глава II). Здесь же введем понятие об идеальной оптической системе, свободной от всех недостатков реальных систем. При этом предполагается, что идеальная система образует изображения точек сколь угодно большой части пространства посредством широких гомоцентрических пучков лучей. Эта идеализированная система позволяет построить общую теорию для приближенного решения различных задач практической оптики.

Совокупность возможных положений точек предметов - вершин гомоцентрических пучков лучей, входящих в оптическую систему, - назовем пространством предметов', пространство, в котором расположены изображения точек, - вершины гомоцентрических пучков лучей, вышедших из оптической системы, - назовем пространством изображений.

Идеальная оптическая система удовлетворяет следующим условиям:

1. Каждой точке пространства предметов соответствует одна и только одна точка пространства изображений; обе соответствующие точки называются сопряженными точками обоих пространств.

2. Каждой прямой линии пространства предметов соответствует одна и только одна прямая линия пространства изображений; соответственные линии называются сопряженными.

3. Если какая-нибудь точка в пространстве предметов лежит на прямой, то сопряженная с ней точка лежит на прямой, сопряженной с первой прямой.

Из этих условий логически следует, что всякой плоскости в пространстве предметов соответствует сопряженная ей плоскость в пространстве изображений.

Для большинства оптических систем можно ограничиться рассмотрением лишь таких сопряженных пространств, которые облада-

Рис. I. 18. Линейное увеличение опти- ЮТ ДВУМЯ СОПрЯЖеННЫМИ ОСЯМИ СИМ-

ческой системы метрии. Плоскости в пространстве

предметов, перпендикулярной оси, соответствует вследствие условия симметрии плоскость, также перпендикулярная оси в пространстве изображений.

Для дальнейшего упрощения будем считать, что обе сопряженные оси симметрии образуют одну прямую - оптическую ось. Всякую плоскость, проходящую через оптическую ось, будем называть меридиональной плоскостью. Лучу, находящемуся в меридиональной плоскости предметов, соответствует луч в сопряженной меридиональной плоскости пространства изображений.

Локализованная здесь идеальная оптическая система обладает, таким образом, круговой симметрией: все ее преломляющие или отражающие оптические поверхности имеют сферическую или асферическую аксиально-симметричную форму относительно оптической оси, на которой расположены центры кривизны всех поверхностей: такая система называется центрированной.

Ни одна реальная оптическая система, за исключением плоского зеркала, не удовлетворяет условиям идеальной системы вполне строго. Реальные оптические системы обладают этими свойствами лишь в параксиальной области.

Фокусы, фокусные расстояния и главные точки идеальной оптической системы. Пусть на рис. 1,18 00 изображена некоторая оптическая система. Обозначим величину объекта SA через /, а величину его изображения SA - через Г.

Отношение линейных размеров изображения Г к соответствующим им размерам объекта / называется линейным увеличением оптической системы.

P-f* (1,35)