Выражение, стоящее в прямых скобках формулы (III, 40 ) обращается в квадрат суммы, т. е. совпадает со значением скобки в формуле (III, 40). Множитель перед скобкой обращается в нуль, т. е. для плоской волны формула дает Е' = 0, так как пучок строго параллельных лучей не может обладать энергией: освещенность создается пучками параллельных лучей, заполняющих весьма малый телесный угол.

Для бесконечно большого светящегося экрана (А0 = 1) третий член в скобках формулы (III, 40 ) имеет малые значения и тем меньшие, чем больше z\-z\ - растояние между изображениями отверстий; практически освещенность при этом мало отличается от освещенности, создаваемой светящимися некогерентными точками, как это видно из сравнения с формулой (III, 38).

Таким образом, меняя условия освещения обоих отверстий в непрозрачном экране, можно изменять освещенность в точках между изображениями отверстий, а следовательно, и предел разрешения; от такого, какой получается при когерентном освещении несамосветящихся точек, почти до такого предела, какой соответствует случаю светящихся точек, излучающих некогерентный свет. Полного приближения в точном математическом смысле к некогерентному освещению получить нельзя; степень приближения к нему определяется величиной отношения апертурных чисел - осветителя А0 и объектива А.

Д. С. Рождественский, занимавшийся этой проблемой, назвал отношение коэффициентом некогерентности и показал, что при

строгом математическом анализе явления оба числа (А0и А) входят в выражение освещенности в виде отношений: осветитель с апертурой А0 может давать когерентное освещение и, следовательно, снижать разрешающую силу объектива, если апертура А0 слишком мала по сравнению с апертурой А объектива, и в то же время может обеспечить полное использование разрешающей силы другого объектива, с меньшим апертурным числом А. При испытаниях объективов можно пользоваться также и несамосветящимися тестобъектами (мирами), обеспечивая их правильное освещение в пределах широкой апертуры.

§ 2. РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА РЕАЛЬНОГО ОБЪЕКТИВА

Сферическая световая волна после прохождения через объектив приобретает сложную несферическую форму; пучки лучей, ортогональные к волновой поверхности, перестают быть гомоцентрическими. Волновая поверхность приобретает определенные отступления от идеальной сферической поверхности волны, измеряемые по нормалям к последней и называющиеся волновыми аберрациями; они однозначно связаны с аберрациями геометрическими, рассмотренными в главе II. Как там было показано, волновая аберрация L является функцией от т! и М' координат пересечения луча с плоскостью выходного зрачка.

1. Освещенность в точке на оси при сферической аберрации. Зная зависимость между сферической аберрацией и волновой аберрацией L, выражающейся формулой (II, 6): ,

L= -L tgdm (111,41)

или формулой (II, 56):

L = bsudu, (111,410

где для объектива и' = -у и г' == /, можно вывести выражение для

вычисления освещенности в точке на оси системы, обладающей остаточной сферической аберрацией. После простых преобразований, аналогичных тем, которые были выполнены при выводе формулы дефокусировки (II, 7), получим:

С0, S0 = cos, sin (L + ои cos 60 dS. (Ill, 42)

Заметим, что к этой формуле приходим из (III, 7) и непосредственно, если вместо выражения -уДн'2, соответствующего величине дефокусировки в волновой мере, напишем волновую аберрацию L вообще и переменим в (III, 7) знак у аргумента, что не повлияет на величину освещенности, пропорциональную сумме квадратов: С02 + S02.

Если светящаяся точка объекта расположена на оси и оптическая система центрирована, то последняя формула принимает следующий вид:

С0, S0 = 2* j cos, sin L) 70 (aP0 pdp, (III, 43)

о

где по-прежнему a = -yp-

В центральной точке дифракционного пятна a = 0 и /0(0) = 1 находим:

С0, S0 = 2* j cos, sin (-у- pdp. (Ill, 44)

о

Волновая аберрация L определяется (III, 4Г) и для объектива и' =jr= -jr выражается формулой:

1 >

L = -L- Bspdp.

f Л

Для волновой аберрации третьего порядка, как было показано в главе II (см. II, 57), имеем:

ш = - 1гт =MPi>

где

М =--1-

8л'/4

Введем вспомогательную переменную:

= 4 -= 4

м ,4

х - Г 9 После элементарных преобразований из (III, 44) находим:

(III, 45)

С0> S0 = y Л/ = j cos sin г <ш> 46>

пришли к известным в теории дифракции интегралам Френеля, таблицы численных значений которых можно найти в различных местах, в частности в известных таблицах Янке и Эмде.

Из (III, 4) и (III, 14) получим удобное для численных расчетов выражение отношения освещенностей - величину числа Штреля - при наличии сферической аберрации:

(Ш,47)

где а2 = 4у. Задаваясь значениями волновой аберрации у и определив величину вспомогательной переменной v, находим из таблиц численных значений интегралов Френеля величины, входящие в формулу (III, 47), приведенные в табл. III, 3.

Таблица 111,3 Освещенность на оси при .наличии сферической аберрации

Из сопоставления данных этой таблицы с полученными выше (глава III, § 1) значениями коэффициентов Штреля при дефокусировке видно, что в области малых волновых аберраций (до -у- = 0,5) значения

чисел Штреля совпадают как в результате дефокусировки, так и при наличии сферической аберрации; лишь при больших волновых аберрациях (- = 1 и более) величины чисел Штреля при сферической аберрации оказываются несколько большими, чем при дефокусировке; на-