Нижний предел интегрирования взят равным - со, так как функция рассеяния, строго говоря, бесконечно простирается в обе стороны; практически за нижний предел принимается точка, в которой ордината становится достаточно малой величиной.

Из последнего выражения следует обратное соотношение:

dE(x) dx

(111,65)

Рис. III, 8. Процесс свертки функции R(x) распределения светности в объекте с функцией рассеяния А'(ъ)

т. е. если известна функция распределения освещенности Е(х) в изображении полуплоскости, то производная от этой функции представляет собой элементарную функцию рассеяния.

Знание функции рассеяния позволяет особенно просто установить распределение освещенности в изображении любого одномерного объекта, как это имеет место, например, в мире (см. рис. III, 4) для определения разрешающей силы.

Очевидно, чем больше крутизна кривой Е(х), тем больше величина А'(х), а следовательно, тем будет резче изображение точки или линии.

3. Образование изображения некогерентно излучающего объекта. Ограничимся здесь рассмотрением процесса образования изображения, когда элементы объекта излучают некогерентный свет. Как было сказано выше, освещенность в каждой из точек плоскости изображения определяется как результат суммирования освещенности элементарных изображений от различных точек объекта.

Далее предположим, что при передаче освещенностей оптическая система обладает свойством линейности (к ней применим принцип суперпозиции). Наконец, предположим, что объектив обладает свойствами изопланатизма (см. главу II), когда в сопряженных плоскостях существуют хотя бы небольшие, но конечные участки, в пределах которых вид функции рассеяния не изменяется. В целях упрощения записи математических выражений ограничимся анализом распределения освещенности в изображении одномерного объекта, например штриховой миры, у которой яркость изменяется лишь в направлениях, поперечных направлениям штрихов.

Учитывая сделанные выше замечания, можно представить, что каждому линейному элементу объекта Р, Q, R (рис. III, 8) соответствует некоторая функция рассеяния A(g), причем Е отсчитывается от той точки изображения, в которой определяется освещенность. Пусть функция R(x) описывает распределение светности вдоль оси х в плоскости одномерного объекта. Очевидно, аргументу х в пространстве предметов будет соответствовать величина р х, где р - поперечное увеличение объектива; в дальнейшем в целях упрощения записи масштаб изобра-

жения р опустим. Для определения освещенности в точках изображения с координатой х все элементарные функции рассеяния A (g) должны быть суммированы, но с предварительным их умножением на соответствующие значения функций распределения на предмете R(x-£):

Е(х)= J A(l)R(x-l)dl. (111,66)

Этот интеграл определяет свертку функции R(x) распределения света в объекте с функцией рассеяния Л'(). Это выражение описывает процесс формирования изображения, если элементы объекта излучают некогерентный свет. Такой линейный процесс записывается методом преобразования Фурье и приводит к идеям о действии объектива (и любой оптической системы), как фильтра пространственных частот.

Функция A (g) иногда называется также функцией прибора, или аппаратной функцией, которая по сути дела является математической моделью оптической системы. Эта функция отображает влияние таких факторов, как аберрация, дифракция, светорассеяние в плоскости приемника изображения; иными словами, влияние тех явлений, к которым можно применить закон аддитивности в отношении действия отдельных элементов объекта.

4. Частотно-контрастная характеристика* (ЧКХ) объектива. Как было сказано выше, о качестве объектива можно судить по изображению любого предмета; однако для количественной оценки удобнее применять тестобъекты простейшей геометрической формы. Особое положение среди этих тестобъектов занимает косинусоидальная решетка, у которой светность распределена по закону

R(х) = #ф + /?а cos 2izNx, (III, 67)

где #ф - светность равномерного фона; i?a - амплитуда колебания светности в плоскости предмета вдоль оси х\ N - частота решетки, т.е. число периодов решетки в единице длины. Очевидно, предельные значения светности решетки будут: /?макс = #ф + #а и мин = = R$ - Ra> отсюда получим величину контраста в плоскости предмета (см. III, 32):

k = Макс-Амин = А. ; (Ш, 68)

макс Н~ мин

отношение k амплитудного значения светности R& к ее среднему значению (фону) #ф называют также коэффициентом модуляции.

Применяя операцию свертки для косинусоидального распределения света в объекте, из (III, 66) находим распределение освещенности в плоскости изображения:

* Или функция передачи модуляции (ФПМ).

где

Е(х) = Яф ] А' ()dl + Ra J A (I) cos2*N(x-%) d\ =

-OO -00

op oo

= £ф J Л'+ cos 2dV* j (l)cos2 iVdH-

-oo -oo

+ £asin2ic#* J i4(£)sin2icW£d£. (111,69)

Выражение (III, 69) может быть записано более кратко:

Е (х) = Яф + Яа Г (JV) cos [2*tf* - f (JV)], (HI, 70)

\T(N)\* = [Tc(N)f + [Ts(N)Y;

J /T(5)cos2*tffcffi

J Л' (?) sin 2*JV6dS

sin <p (N) =

TsUt) \T(N)\

tg<p(#) =

J* 4(6) Л

- OO

cos <p (Af) =

TS(N) TC(N)

T(N)\

(III, 71)

Из сопоставления выражений (III, 67) и (III, 70) следует, что коси-нусоидальная решетка изображается объективом также в виде косину-соидальной решетки. Изображение отличается от оригинала в двух отношениях: во-первых, амплитуда колебаний освещенности в изображении в \T(N)\ раз меньше, чем в самой решетке, и, во-вторых, вне оптической оси изображение решетки может не совпасть с его положением, рассчитанным по законам оптики идеальной системы, на что указывает присутствие смещения фазыф(Л^) в формуле (III, 70).

Действительно, если функция рассеяния A(i) четная, т.е. если А' (-£)=Л'(£), что, очевидно, всегда имеет место для точки на оптической оси, то третий интеграл в выражении (III, 69) ввиду нечетности функции синуса обращается в нуль и, следовательно, sincp(N)=TS(N)= = 0 - смещения фазы не будет. Смещение фазы указывает на несоответствие координаты точки изображения относительно идентичной точки объекта. Оно может быть вызвано двумя причинами:

1) вызвавшими перемещение центра пятна рассеяния и не зависящими от частоты N, и 2) вызвавшими возникновение асимметричного распре-