динат /п'иМв его выходном зрачке (см. главу II). При решении этой задачи используются те же преобразования Фурье, переводящие на математический язык природу явления дифракции: переход от распределения амплитуд на зрачке к распределению амплитуд на изображении представляет собой задачу гармонического анализа, сводящуюся к разложению амплитуд на зрачке на синусоидальные составляющие.

В отличие от приведенных выше зависимостей напишем выражение для двухмерного объекта частотно-контрастной характеристики, которое может быть представлено модулем следующего интеграла [9]:

IWl4iJ>№'>T). F*[(¥-Wm); (T-XAQ]dfidT,

(Ш,78)

/77i

Рис. III. 9. К определению i Рис. Ill, 10. К замене перемен-

предела интегрирования про- ных в преобразовании Фурье

изведения комплексных функций

где р' и у' - направляющие косинусы радиуса сферы волны сравнения, пересекающего плоскость выходного зрачка в некоторой точке (m; М')\ Nm и Ns - пространственные частоты меридионально- и сагиттально-ориентированных изображений штрихов миры; F и F*- комплексные функции распределения амплитуд на выходящей из зрачка объектива волновой поверхности. Область интегрирования распространяется лишь на часть площади зрачка [9]. Действительно, функция F равна нулю вне контура зрачка и произведение FF* может иметь не равное нулю значение, если два контура , представленные на рис. III, 9, имеют общую (заштрихованную на рисунке) область: один из них является контуром зрачка, другой - также контуром зрачка,но смещенным соответственно на величины %Nm и W 8- Функции F и F* можно представить следующим образом, если относительные отверстия объективов невелики и принять нормировку F(0, 0) = 1 при L = 0:

F(p, Y) = exP p=!-L<p, т')];

F* [(P-W ); (т'-ХЛО] aeXp[-±LL{l-Htm;

(111,79)

где L - волновая аберрация луча, координаты которого в выходном зрачке т' и М' следующим образом связаны с величинами р' и у' и радиусом г' сферы сравнения (см. рис. III, 10):

=£ = kcos6 = P; г' г' Г в

р sm у

= i/sin0 = ?

(111,80)

Символом ехр с целью удобства записи обозначена функция-винт eix = exp(ix).

В результате получим:

[-i-L(-l-XiVm; l X)]dmW. (111,81)

X ехр

В соответствии с вышесказанным необходимо, чтобы интегрирование проводилось по всем значениям т' и М', при которых выполняются неравенства:

т

+ М'2 <Р12; (m-т' f + (Af -М7)2 <: р? ,

где т' = №тг' и М' = %N jr\ р\ - радиус выходного зрачка объектива.

В случае одномерной структуры объекта, например простой штриховой решетки и квадратного зрачка объектива со стороной 2р'1э из (III, 81) получим:

\T(N)

= С

J ехр {-- [L ( ) - L(u - ХЛС)] J

-u[+XNm

(111,82)

где uj = -p- и и' i = pi- - апертурный угол объектива, сторона

зрачка которого 2р\; С - некоторый множитель, определяемый при конкретных вычислениях из условия нормировки: T(W) = 1 при ЛГт 0.

Как известно, модуль этого выражения равен:

(111,83)

где функция Ф(и') = Ци) - Ци - №т).

Если выражение волновой аберрации представляет симметричную функцию Ци) = L(-и'), то первый интеграл, стоящий под знаком радикала, обращается в нуль и выражение (III, 83) принимает вид:

\T(N)\=C J cos -у- Ф(и')du. (III,83f)

Эти формулы удобны для применения, если известны выражения для волновой аберрации L(u) объектива.

2. Приближенная оценка влияния аберраций на ЧКХ (или ФПМ). Рассмотрим примеры применения формул (III, 71) и (III 83), первая из которых приспособлена, если известна функция рассеяния, а вторая - если известно распределение волновой аберрации в зрачке объектива.

Пусть объектив с остаточными (как монохроматическими, так и хроматическими) аберрациями изображает светящуюся геометрическую точку в виде круглого диска диаметром d\ освещенность в котором распределена равномерно. При таком предположении распределение освещенности в изображении линии выражается формулой:

A--Vf, (111,84)

dr 2

где 0 < g < г = -j- . Множитель в выражении функции рассеяния А (£) введен для того, чтобы выполнялось условие нормировки:

Ji4©dE=l. (Ill, 84)

-г

Коэффициент передачи модуляции (КПМ) при изображении синусоидальной миры определится формулой (III, 71):

\T(N)\ = [TC(N)Y + [TS(N)T.

Так как A(g) - функция четная, то, как было сказано выше,